Question

【題目】如圖1，△ACB為等腰三角形，∠ABC=90°，點(diǎn)P在線段BC上（不與B，C重合），以AP為腰長作等腰直角△PAQ，QE⊥AB于E．

（1）求證：△PAB≌△AQE；

（2）連接CQ交AB于M，若PC=2PB，求的值；

（3）如圖2，過Q作QF⊥AQ交AB的延長線于點(diǎn)F，過P點(diǎn)作DP⊥AP交AC于D，連接DF，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與B，C重合），式子的值會(huì)變化嗎？若不變，求出該值；若變化，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2；（3）不會(huì)變化．值為1.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題目中的信息可以得到AQ=AP，∠QEA與∠ABP之間的關(guān)系，∠QAE與∠APB之間的關(guān)系，從而可以解答本題；

（2）由第一問中的兩個(gè)三角形全等，可以得到各邊之間的關(guān)系，然后根據(jù)題目中的信息找到PC與MB的關(guān)系，從而可以解答本題；

（3）作合適的輔助線，構(gòu)造直角三角形，通過三角形的全等可以找到所求問題需要的邊之間的關(guān)系，從而可以解答本題．

試題解析：（1）證明：∵△ACB為等腰三角形，∠ABC=90°，點(diǎn)P在線段BC上（不與B，C重合），以AP為腰長作等腰直角△PAQ，QE⊥AB于E．

∴AP=AQ，∠ABP=∠QEA=90°，∠QAE+∠BAP=∠BAP+∠APB=90°，

∴∠QAE=∠APB，

在△PAB和△AQE中，

，

∴△PAB≌△AQE（AAS）；

（2）∵△PAB≌△AQE，

∴AE=PB，

∵AB=CB，

∴QE=CB．

在△QEM和△CBM中，

，

∴△QEM≌△CBM（AAS），

∴ME=MB，

∵AB=CB，AE=PB，PC=2PB，

∴BE=PC，

∵PC=2PB，

∴PC=2MB，

∴＝2；

（3）式子的值不會(huì)變化．

如下圖2所示：作HA⊥AC交QF于點(diǎn)H，

∵QA⊥AP，HA⊥AC，AP⊥PD，

∴∠QAH+∠HAP=∠HAP+∠PAD=90°，∠AQH=∠APD=90°，

∴∠QAH=∠PAD，

∵△PAQ為等腰直角三角形，

∴AQ=AP，

在△AQH和△APD中，

，

∴△AQH≌△APD（ASA），

∴AH=AD，QH=PD，

∵HA⊥AC，∠BAC=45°，

∴∠HAF=∠DAF，

在△AHF和△ADF中，

，

∴△AHF≌△ADF（SAS），

∴HF=DF，

∴．