Question

如圖，直線y=x+1與y軸交于A點，與反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象交于點M，過M作MH⊥x軸于點H，且∠AHO=30°．
（1）求k的值；
（2）設(shè)點N（1，a）是反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）圖象上的點，在y軸上是否存在點P，使得PM+PN最小？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線解析式求A點坐標，得OA的長度；根據(jù)三角函數(shù)定義可求OH的長度，得點M的橫坐標；根據(jù)點M在直線上可求點M的坐標，從而可求K的值；
（2）根據(jù)一次函數(shù)解析式可求N點坐標；作點M關(guān)于y軸的對稱點M′，連接M′N與y軸的交點就是滿足條件的P點位置．

解答：解：（1）由y=x+1可知A（0，1），即OA=1．
∵tan∠AHO=tan30°=

3

3

，∴OH=

3

．
∵MH⊥x軸，∴點M的橫坐標為

3

．
∵點M在直線y=x+1上，
∴點M的縱坐標為

3

+1．即M（

3

，

3

+1）．
∵點M在y=

k

x

上，
∴k=

3

×（

3

+1）=3+

3

；

（2）存在．
過點M作M關(guān)于y軸的對稱點M′，連接M′N，交y軸于P（如圖所示）．此時PM+PN最�。�
∵點N（1，a）在反比例函數(shù)y=

3+ 3

x

（x＞0）上，
∴a=3+

3

，即點N的坐標為（1，3+

3

），
∵M與M′關(guān)于y軸的對稱，M點坐標為（

3

，

3

+1），
∴M′的坐標為（-

3

，

3

+1），
設(shè)直線M′N的解析式為y=ax+b．
由

3+ 3 =a+b 3 +1= 3 a+b

，
解得：

a=- 3 -1 b=2 3 +4

，
∴直線M′N的解析式為：y=（-

3

-1）x+2

3

+4，
令x=0，得y=4+2

3

．
∴P點坐標為（0，4+2

3

）．

點評：此題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及線路最短問題，得出P點位置是解題關(guān)鍵．