Question

在半徑為12，圓心角為90°扇形OAB的弧AB上有一動點P，作PH⊥OA于H，G為△OPH的重心（三角形三條中線的交點）當△OHG為等腰三角形時，PH的長為

4或2

6

．

Answer 1

分析：題中只說△PHG為等腰三角形．沒有指明哪個是底哪個是腰，則應該分三種情況進行分析，從而求得PH的長．

解答：解：如圖，MH，NP是Rt△OPH的兩條中線，交點為G，
∵MN∥PH，MN=

1

2

PH，
∴MN⊥OH．
設PH=x
（1）當PG=PH=x時，
∵MN∥PH，
∴

NG

PG

=

MN

PH

=

1

2

，
∴NG=

1

2

x
∵NH²=NP²-PH²=（

3

2

x）²-x²=

5

4

x²，ON²+MN²=OM²
∵ON=NH，
∴

5

4

x²+（

1

2

x）²=（

12

2

）²
∴x=2

6

；
（2）當PH=GH=x時，
同理得x=4；
（3）當GH=PG時，G點在線段PH的中垂線上，G點不是三角形的重心了．
所以PH的長為4或2

6

．
故答案為：4或2

6

．

點評：本題考查了三角形重心的概念，中位線定理，相似比，勾股定理等知識，還涉及了分類討論的思想，具有較強的綜合性．