Question

已知m，n是方程x²-6x+5=0的兩個實數(shù)根，且m＜n拋物線y=-x²+bx+c．的圖象經(jīng)過點A（m，0），B（0，n）．
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）如圖，拋物線與x軸的另一交點為C，B為y軸拋物線的交點，若P是線段OC上的一點，過點P作PH⊥x軸，與拋物線交于點H，若直線BC把△PCH分成面積之比為2：3的兩部分，請求出點P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）x²-6x+5=0，
（x-1）（x-5）=0，
∴x-1=0，x-5=0，
解得x=1，x=5，
∵m，n是方程x²-6x+5=0的兩個實數(shù)根，且m＜n，
∴m=1，n=5，
∴點A、B的坐標(biāo)為A（1，0），B（0，5），
∴，
解得，
拋物線的解析式為y=-x²-4x+5；

（2）當(dāng)y=0時，-x²-4x+5=0，
即x²+4x-5=0，
解得x₁=1，x₂=-5，
∴點C的坐標(biāo)為（-5，0），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
則，
解得，
∴直線BC的解析式為y=x+5，
設(shè)PH與BC相交于點D，點P的坐標(biāo)為（a，0），
則點D坐標(biāo)為（a，a+5），點H坐標(biāo)為（a，-a²-4a+5），
∴PD=a+5，DH=-a²-4a+5-（a+5）=-a²-5a，
∵直線BC把△PCH分成面積之比為2：3的兩部分，兩三角形的高都是點C到PH的距離，
∴①PD：DH=2：3時，（a+5）：（-a²-5a）=2：3，
解得a=-1.5，
此時點P的坐標(biāo)為（-1.5，0），
②當(dāng)DH：PD=2：3時，（-a²-5a）：（a+5）=2：3，
解得a=-，
此時點P的坐標(biāo)為（-，0），
綜上所述，點P的坐標(biāo)為（-1.5，0）或（-，0）．
分析：（1）利用因式分解法求出一元二次方程的解，從而得到點A、B的坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求出b、c的值，即可得解；
（2）先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，然后設(shè)點P的坐標(biāo)為（a，0），設(shè)PH與BC相交于點D，根據(jù)直線的解析式與拋物線的解析式求出PD、HD的長度，然后根據(jù)三角形的面積公式可得邊的比等于分成的兩三角形的面積的比，再分①PD：DH=2：3，②DH：PD=2：3兩種情況列式求解即可得到點P的坐標(biāo)．
點評：本題是對二次函數(shù)的綜合考查了，有待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求直線解析式，等高的三角形的面積的比等于底邊的比，難度不大，仔細分析便不難求解．