Question

如圖1，矩形ABCD中，AB=21，AD=12，E是CD邊上的一點，DE=16，M是BC邊上的中點，動點P從點A出發(fā)，沿邊AB以每秒1單位長度的速度向終點B運動．設(shè)動點P的運動時間是t秒；

（1）求線段AE的長；
（2）當(dāng)△ADE與△PBM相似時，求t的值；
（3）如圖2，連接EP，過點P作PH⊥AE于H．
①當(dāng)EP平分四邊形PMEH的面積時，求t的值；
②以PE為對稱軸作線段BC的軸對稱圖形B′C′，當(dāng)線段B′C′與線段AE有公共點時，寫出t的取值范圍（直接寫出答案）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)ABCD是矩形，得出∠D=90°，再由勾股定理即可求出AE的值；
（2）根據(jù)已知∠D=∠B=90°，即可求出△ADE與△PBM相似時，再分兩種情況進(jìn)行討論；當(dāng)∠DAE=∠PMB時有=，
解出t的值和當(dāng)∠DAE=∠MPB時有=得出t的值；
（3）①根據(jù)題意得出S_△EHP=S_△EMP，求出t的兩個值，再根據(jù)t的取值范圍即可求出t的值；②根據(jù)PE為對稱軸作線段BC的軸對稱圖形B′C′直接寫出t的取值范圍即可；
解答：解：（1）∵ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∴AE²=AD²+DE²，
∵AD=12，DE=16，
∴AE=20，

（2）∵∠D=∠B=90°，
∴△ADE與△PBM相似時，有兩種可能；
當(dāng)∠DAE=∠PMB時，有=，即=，
解得：t=13；
當(dāng)∠DAE=∠MPB時，有=，即=，
解得t=；

（3）①∵△ADE∽△PHA，
∴，
∴==，
∴PH=t，HA=t，
∵S_△EHP=S_△EMP，
∴×t×（20-t）=×12×（5+21-t）-×6×（21-t）-×6×5，
解得：t=，
∵0＜t＜21，
∴t=；
②根據(jù)題意得：≤t≤20．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，要注意的是（2）中，有兩種情況進(jìn)行分類求解．