Question

在銳角△ABC中，BC＝5，sinA＝．

(1)如圖1，求△ABC外接圓的直徑；

(2)如圖2，點I為△ABC的內(nèi)心，BA＝BC，求AI的長。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）作△ABC的外接圓的直徑CD，連接BD。

 

 

    則∠CBD=90⁰，∠D=∠A。

   ∴。

  ∵BC＝5，∴。

  ∴△ABC外接圓的直徑為。

 （2）連接BI并延長交AC于點H，作IE⊥AB于點E。

 

 

   ∵BA=BC，∴BH⊥AC�！郔H=IE。

    在Rt△ABH中，BH=AB·sin∠BDH=4，。

   ∵，∴ ，即。

   ∵IH=IE，∴。

    在Rt△AIH中，。

【解析】三角形外心和內(nèi)心的性質(zhì)，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的判定和性質(zhì)，勾股定理。

（1）作△ABC的外接圓的直徑CD，連接BD，由直徑所對圓周角是直角的性質(zhì)得∠CBD=90⁰，由同圓中同弧所對圓周角相等得∠D=∠A，從而由已知，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義即可求得△ABC外接圓的直徑。

（2）連接BI并延長交AC于點H，作IE⊥AB于點E，由三角形內(nèi)心的性質(zhì)和角平分線的判定

和性質(zhì)，知IH=IE。在Rt△ABH中，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義和勾股定理可求出BH=4和AH=3，從而由求得。在Rt△AIH中，應(yīng)用勾股定理求得AI的長。