Question

（2006•濟(jì)寧）如圖，以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1），直線x=1交x軸于點(diǎn)B．P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，作直線PC⊥PO，交直線x=1于點(diǎn)C．過(guò)P點(diǎn)作直線MN平行于x軸，交y軸于點(diǎn)M，交直線x=1于點(diǎn)N．
（1）當(dāng)點(diǎn)C在第一象限時(shí)，求證：△OPM≌△PCN；
（2）當(dāng)點(diǎn)C在第一象限時(shí)，設(shè)AP長(zhǎng)為m，四邊形POBC的面積為S，請(qǐng)求出S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C也隨之在直線x=1上移動(dòng)，△PBC能否成為等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成為等腰三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)∠OPC=90°和同角的余角相等，我們可得出三角形OPM和PCN中兩組對(duì)應(yīng)角相等，要證兩三角形全等，必須有相等的邊參與，已知了OA=OB，因此三角形OAB是等腰直角三角形，那么三角形AMP也是個(gè)等腰三角形，AM=MP，OA=OB=MN，由此我們可得出OM=PN，由此我們可得出兩三角形全等．
（2）知道了A的坐標(biāo)，也就知道了OA、OB、MN的長(zhǎng)，在直角三角形AMP中，我們知道了AP為m，那么可用m表示出AM、MP，也就能表示出OM、BN，PN的長(zhǎng)，那么可根據(jù)四邊形OPCB的面積=矩形的面積-三角形OMP的面積-三角形PCN的面積，來(lái)求出S，m的函數(shù)關(guān)系式．然后根據(jù)C在第一象限，得出CN的取值范圍，進(jìn)而求出m的取值范圍．
（3）要分兩種情況進(jìn)行討論：
當(dāng)C在第一象限時(shí)，要想使PCB為等腰三角形，那么PC=CB，∠PBC=45°，因此此時(shí)P與A重合，那么P的坐標(biāo)就是A的坐標(biāo)．
當(dāng)C在第四象限時(shí)，要想使PCB為等腰三角形，那么PB=BC，在等腰直角三角形PBN中，我們可以用m表示出BP的長(zhǎng)，也就表示出了BC的長(zhǎng)，然后根據(jù)（1）中的全等三角形，可得出MP=NC，那么可用這兩個(gè)含未知數(shù)m的式子得出關(guān)于m的方程來(lái)求出m的值．那么也就求出了PM、OM的長(zhǎng)，也就得出了P點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：（1）證明：∵OM∥BN，MN∥OB，∠AOB=90°
∴四邊形OBNM為矩形
∴MN=OB=1，∠PMO=∠CNP=90°
∵OA=OB，
∴∠1=∠3=45°
∵M(jìn)N∥OB，
∴∠2=∠3=45°
∴∠1=∠2=45°，
∴AM=PM
∴OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PM
∴OM=PN
∵∠OPC=90°，
∴∠4+∠5=90°，
又∵∠4+∠6=90°，
∴∠5=∠6
∴△OPM≌△PCN

（2）解：∵AM=PM=APsin45°=，
∴OM=
∴S=S_矩形OBNM-2S_△POM=（1-m）-2×（1-m）•m
=m²-m+1（0≤m＜）．

（3）解：△PBC可能成為等腰三角形
①當(dāng)P與A重合時(shí)，PC=BC=1，此時(shí)P（0，1）
②當(dāng)點(diǎn)C在第四象限，且PB=CB時(shí)
有BN=PN=1-
∴BC=PB=PN=
∴NC=BN+BC=1-+-m
由（2）知：NC=PM=
∴1-+-m=
整理得（+1）m=+1
∴m=1
∴PM==，BN=1-=1-
∴P（，1-）
由題意可知PC=PB不成立
∴使△PBC為等腰三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1）或（，1-）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定及等腰三角形的性質(zhì)；此題的設(shè)計(jì)比較精巧，將幾何知識(shí)放在坐標(biāo)系中進(jìn)行考查，第1題運(yùn)用相似形等幾何知識(shí)不難得證，第2小題需利用第1小問(wèn)的結(jié)論來(lái)建立函數(shù)解析式，第3小題需分類討論，不要漏解，運(yùn)用方程思想可以得到答案，分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵．