Question

已知正方形ABCD和等腰直角三角形BEF，按圖①放置，使點F在BC上，取DF的中點G，連接EG、CG．
（1）探索EG、CG的數量關系，并說明理由；
（2）將圖①中△BEF繞B點順時針旋轉45°得圖②，連接DF，取DF的中點G，問（1）中的結論是否成立，并說明理由；
（3）將圖①中△BEF繞B點轉動任意角度（旋轉角在0°到90°之間）得圖③，連接DF，取DF的中點G，問（1）中的結論是否成立，請說明理由．

Answer 1

解：（1）EG=CG．
證明：∵∠DEF=∠DCF=90°，DG=GF，∴．

（2）（1）中結論成立，即EG=CG．
證明：過點F作BC的平行線，交DC的延長線于點M，連接MG．
∴EF=CM，易證四邊形EFMC為矩形．
∴∠EFG=∠GDM．
在直角三角形FMD中，DG=GF，
∴FG=GM=GD．
∴∠GMD=∠GDM．∴∠EFG=∠GMD．
∴△EFG≌△CMG．∴EG=CG．

（3）成立．證明：取BF的中點H，連接EH，GH，取BD的中點O，連接OG，OC．
∵OB=OD，∠DCB=90°，
∴．
∵DG=GF，BH=HF，OD=OB，
∴GH∥BO，且；OG∥BF，且．
∴CO=GH．
∵△BEF為等腰直角三角形，∴．∴EH=OG．
∵四邊形OBHG為平行四邊形，
∴∠BOG=∠BHG．
∵∠BOC=∠BHE=90°，
∴∠GOC=∠EHG．
∴△GOC≌△EHG．∴EG=GC．
分析：（1）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求證；
（2）過點F作BC的平行線，交DC的延長線于點M，連接MG，則四邊形EFMC為矩形，可以證△EFG≌△CMG，據此即可證得；
（3）取BF的中點H，連接EH，GH，取BD的中點O，連接OG，OC．可以證得△BEF為等腰直角三角形，再根據平行四邊形的性質即可證得△GOC≌△EHG，即可求證．
點評：本題主要考查了圖形的旋轉以及正方形的性質，把證線段相等的問題轉化為三角形全等的問題是解題的關鍵．