如圖,邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O,把邊BA、CD分別繞點(diǎn)B、C同時(shí)逆時(shí)針旋精英家教網(wǎng)轉(zhuǎn)60°得四邊形A′BCD′,其對(duì)角線交點(diǎn)為O′,連接OD′.下列結(jié)論:
①四邊形A′BCD′為菱形;
S四邊形A′BCD′=
1
2
S正方形ABCD
;
③線段OD′的長(zhǎng)為
3
-1;
④點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O′的路徑是線段OO′.其中正確的結(jié)論共有( 。
A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)
分析:①根據(jù)旋轉(zhuǎn)角是60°以及正方形的四個(gè)角都是直角可得∠BCD′=30°,然后證明A′B∥CD′,進(jìn)而得到四邊形A′BCD′是平行四邊形,再根據(jù)A′B=BC,即可證明四邊形A′BCD′是菱形;
②根據(jù)旋轉(zhuǎn)角是60°求出點(diǎn)B到A′D′的距離是A′B的一半,也就是AB的一半,然后根據(jù)正方形的面積公式以及菱形的面積即可證明;
③先求出OA′的長(zhǎng)度,再根據(jù)菱形的對(duì)邊相等,減去正方形的邊長(zhǎng)即可;
④根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),點(diǎn)O以BC的中點(diǎn)為圓心,以BC的一半為半徑逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)可以得到點(diǎn)O′,所以路徑是弧而非線段.
解答:解:①根據(jù)題意,∠A′BA=∠D′CD=60°,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠BCD=90°,
∴∠BCD′=30°,
∴∠A′BC+∠BCD′=60°+90°+30°=180°,
∴A′B∥CD′,
又∵A′B=CD′=AB,
∴四邊形A′BCD′是平行四邊形,
∵AB=BC(正方形的邊長(zhǎng)相等),
∴四邊形A′BCD′是菱形,故本題小題正確;

②∵∠ABA′=60°,AB=2,
∴點(diǎn)B到A′D′的距離是:
1
2
A′B=
1
2
AB=1,
∴S四邊形A′BCD=BC•(
1
2
A′B)=2×1=2,
S正方形ABCD=BC•AB=2×2=4,
∴S四邊形A′BCD=
1
2
S正方形ABCD,故本小題正確;

③∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn),
∴OA′=A′B•sin60°+
1
2
BC=2×
3
2
+
1
2
×2=
3
+1,
∴OD′=OA′-A′D′=
3
+1-2=
3
-1,故本小題正確;

④根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直可得△BCO′是直角三角形,
∴以BC的中點(diǎn)為圓心,以BC的一半為半徑,點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)可以到達(dá)點(diǎn)O′的位置,經(jīng)過路徑是弧而不是線段OO′,故本小題錯(cuò)誤.
綜上所述,正確的結(jié)論有①②③共3個(gè).
故選C.
點(diǎn)評(píng):本題考查了正方形的性質(zhì),菱形的判定與性質(zhì),直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)變換,是綜合題目,但難度不大,仔細(xì)分析即可求解.
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(1)當(dāng)點(diǎn)E坐標(biāo)為(3,0)時(shí),證明CE=EP;
(2)如果將上述條件“點(diǎn)E坐標(biāo)為(3,0)”改為“點(diǎn)E坐標(biāo)為(t,0)”,結(jié)論CE=EP是否仍然成立,請(qǐng)說明理由;
(3)在y軸上是否存在點(diǎn)M,使得四邊形BMEP是平行四邊形?若存在,用t表示點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

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(1)當(dāng)點(diǎn)E坐標(biāo)為(3,0)時(shí),證明CE=EP;
(2)如果將上述條件“點(diǎn)E坐標(biāo)為(3,0)”改為“點(diǎn)E坐標(biāo)為(t,0)”,結(jié)論CE=EP是否仍然成立,請(qǐng)說明理由;
(3)在y軸上是否存在點(diǎn)M,使得四邊形BMEP是平行四邊形?若存在,用t表示點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

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