Question

（2013•北京）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和⊙C，給出如下的定義：若⊙C上存在兩個(gè)點(diǎn)A、B，使得∠APB=60°，則稱P為⊙C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．已知點(diǎn)D（

1

2

，

1

2

），E（0，-2），F(xiàn)（2

3

，0）．
（1）當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)，
①在點(diǎn)D、E、F中，⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是

D，E

．
②過點(diǎn)F作直線l交y軸正半軸于點(diǎn)G，使∠GFO=30°，若直線l上的點(diǎn)P（m，n）是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求m的取值范圍；
（2）若線段EF上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求這個(gè)圓的半徑r的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義得出E點(diǎn)是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，進(jìn)而得出F、D，與⊙O的關(guān)系；
②若P要?jiǎng)偤檬恰袰的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，需要點(diǎn)P到⊙C的兩條切線PA和PB之間所夾的角為60°，進(jìn)而得出PC的長，進(jìn)而得出點(diǎn)P到圓心的距離d滿足0≤d≤2r，再考慮臨界點(diǎn)位置的P點(diǎn)，進(jìn)而得出m的取值范圍；
（2）若線段EF上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，欲使這個(gè)圓的半徑最小，則這個(gè)圓的圓心應(yīng)在線段EF的中點(diǎn)；再考慮臨界情況，即恰好E、F點(diǎn)為⊙K的關(guān)聯(lián)時(shí)，則KF=2KN=

1

2

EF=2，即可得出圓的半徑r的取值范圍．

解答：解：（1）①如圖1所示，過點(diǎn)E作⊙O的切線設(shè)切點(diǎn)為R，
∵⊙O的半徑為1，∴RO=1，
∵EO=2，
∴∠OER=30°，
根據(jù)切線長定理得出⊙O的左側(cè)還有一個(gè)切點(diǎn)，使得組成的角等于30°，
∴E點(diǎn)是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，
∵D（

1

2

，

1

2

），E（0，-2），F(xiàn)（2

3

，0），
∴OF＞EO，DO＜EO，
∴D點(diǎn)一定是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，而在⊙O上不可能找到兩點(diǎn)與點(diǎn)F的連線的夾角等于60°，
故在點(diǎn)D、E、F中，⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是D，E；
故答案為：D，E；

②由題意可知，若P要?jiǎng)偤檬恰袰的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，
需要點(diǎn)P到⊙C的兩條切線PA和PB之間所夾的角為60°，
由圖2可知∠APB=60°，則∠CPB=30°，
連接BC，則PC=

BC

sin∠CPB

=2BC=2r，
∴若P點(diǎn)為⊙C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則需點(diǎn)P到圓心的距離d滿足0≤d≤2r；
由上述證明可知，考慮臨界點(diǎn)位置的P點(diǎn)，
如圖3，點(diǎn)P₁到原點(diǎn)的距離OP₁=2×1=2，
過點(diǎn)O作直線l的垂線OH，垂足為H，tan∠OGF=

FO

OG

=

2 3

2

=

3

，
∴∠OGF=60°，
∴OH=OGsin60°=

3

；
sin∠OP₁H=

OH

OP

=

3

2

，
∴∠OP₁H=60°，
可得點(diǎn)P₁與點(diǎn)G重合，
過點(diǎn)P₂作P₂M⊥x軸于點(diǎn)M，
可得∠P₂OM=30°，
∴OM=OP₂cos30°=

3

，
從而若點(diǎn)P為⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則P點(diǎn)必在線段P₁P₂上，
∴0≤m≤

3

；

（2）若線段EF上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，欲使這個(gè)圓的半徑最小，則這個(gè)圓的圓心應(yīng)在線段EF的中點(diǎn)；
考慮臨界情況，如圖4，
即恰好E、F點(diǎn)為⊙K的關(guān)聯(lián)時(shí)，則KF=2KN=

1

2

EF=2，
此時(shí)，r=1，
故若線段EF上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，這個(gè)圓的半徑r的取值范圍為r≥1．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及切線判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系和新概念等知識(shí)，注意臨界點(diǎn)位置的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．