Question

已知：如圖，⊙O的半徑為R，OP=L，AB=a，CD=b，則a²+b²=

 

．

Answer 1

分析：過(guò)O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，連OB，OC，根據(jù)垂徑定理得到BE=EA=

1

2

a，CF=FD=

1

2

b，然后在Rt△OBE和Rt△OCF中，利用勾股定理得OE²=OB²-BE²=R²-（

1

2

b）²=R²-

1

4

a²；
OF²=OC²-CF²=R²-

1

4

b²；最后在Rt△OPE中，利用勾股定理即可得到a²+b²=8R²-4L²．

解答：解：過(guò)O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，連OB，OC，如圖，
∴BE=EA=

1

2

a，CF=FD=

1

2

b，
在Rt△OBE中，OE²=OB²-BE²=R²-（

1

2

b）²=R²-

1

4

a²；
在Rt△OCF中，OF²=OC²-CF²=R²-

1

4

b²；
在Rt△OPE中，OP²=OE²+PE²=2R²-

1

4

a²-

1

4

b²=L²，
而OF=OE，
∴OP²=OE²+OF²=2R²-

1

4

a²-

1

4

b²=L²，
∴a²+b²=8R²-4L²．
故答案為8R²-4L²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的弧．也考查了勾股定理．