Question

如圖，EFGH是正方形ABCD的內(nèi)接四邊形，兩條對角線EG和FH相交于點O，且它們所夾的銳角為θ，∠BEG與∠CFH都是銳角，已知EG=k，F(xiàn)H=l，四邊形EFGH的面積為S，
（1）求證：；
（2）試用k、l、S來表示正方形ABCD的面積．

Answer 1

（1）證明：S=S_△EFG+S_△EHG，
=S_△EOF+S_△GOF+S_△EOH+S_△GOH，
=

=
=
所以；

（2）解：過E、F、G、H分別作AB、BC、CD、DA的垂線，得矩形PQRT．
設(shè)正方形ABCD的邊長為a，PQ=b，QR=c，
則，
由S_△AEH=S_△TEH，
S_△BEF=S_△PEF，S_△GFC=S_△QFG，S_△DGH=S_△RGH
得S_ABCD+S_PQRT=2S，
∴，
∴（k²+l²-4S）a²=k²l²-4S²，
由（1）知，
故．
分析：（1）根據(jù)圖形知，S=S_△EFG+S_△EHG=S_△EOF+S_△GOF+S_△EOH+S_△GOH，然后由面積公式S=absinC證明結(jié)論即可；
（2）過E、F、G、H分別作AB、BC、CD、DA的垂線，構(gòu)造矩形PQRT．利用勾股定理求的正方形ABCD的邊長，然后由S_△AEH=S_△TEH，S_△BEF=S_△PEF，S_△GFC=S_△QFG，S_△DGH=S_△RGH推知（k²+l²-4S）a²=k²l²-4S²，最后根據(jù)（1）的結(jié)論來判定k²l²-4S²，的取值范圍，從而用k、l、S來表示正方形ABCD的面積．
點評：本題主要考查了三角形的面積、正方形的性質(zhì)及正、余弦定理．此題難度較大，在解題時需靈活運用正、余弦定理．