Question

如圖，拋物線：y＝ax2＋bx＋4與x軸交于點A(－2，0)和B(4，0)、與y軸交于點C．

(1)求拋物線的解析式；

(2)T是拋物線對稱軸上的一點，且△ACT是以AC為底的等腰三角形，求點T的坐標(biāo)；

(3)點M、Q分別從點A、B以每秒1個單位長度的速度沿x軸同時出發(fā)相向而行．當(dāng)點M原點時，點Q立刻掉頭并以每秒個單位長度的速度向點B方向移動，當(dāng)點M到達(dá)拋物線的對稱軸時，兩點停止運動．過點M的直線l⊥軸，交AC或BC于點P．求點M的運動時間t(秒)與△APQ的面積S的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．

 

 

Answer 1

（1）拋物線的解析式為：；

（2），S的最大值為．

【解析】

試題分析：（1）把A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到方程組，求出方程組的解即可；

（2）設(shè)直線x=1上一點T（1，h），連接TC、TA，作CE⊥直線x=1，垂足是E，根據(jù)TA=TC由勾股定理求出即可；

（3）（I）當(dāng)0＜t≤2時，△AMP∽△AOC，推出比例式，求出PM，AQ，根據(jù)三角形的面積公式求出即可；

（II）當(dāng)2＜t≤3時，作PM⊥x軸于M，PF⊥y軸于點F，表示出三角形APQ的面積，利用配方法求出最值即可．

試題解析：（1）把A、B(4，0)代入，得

解得

∴拋物線的解析式為：；

（2）由，得拋物線的對稱軸為直線，

直線交x軸于點D，設(shè)直線上一點T(1，h)，連結(jié)TC，TA，作CE⊥直線，垂足為E，由C(0，4)得點E(1，4)，

在Rt△ADT和Rt△TEC中，由TA=TC得

解得，

∴點T的坐標(biāo)為(1,1)；

（3）【解析】
（Ⅰ）當(dāng)時，△AMP∽△AOC

∴

∴

當(dāng)時，S的最大值為8.

（Ⅱ）當(dāng)時，

作PF⊥y軸于F，有△COB∽△CFP，又CO=OB

∴FP=FC=，

∴

∴當(dāng)時，則S的最大值為，

綜合Ⅰ、Ⅱ，S的最大值為．

考點：二次函數(shù)綜合題．