Question

（2008•佛山）對(duì)于任意的正整數(shù)n，所有形如n³+3n²+2n的數(shù)的最大公約數(shù)是什么？

Answer 1

【答案】分析：把所給的多項(xiàng)式利用因式分解寫(xiě)成乘積的形式：n³+3n²+2n=n（n+1）（n+2）．因?yàn)閚、n+1、n+2是連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，所以其中必有一個(gè)是2的倍數(shù)、一個(gè)是3的倍數(shù)，可知n³+3n²+2n=n（n+1）（n+2）一定是6的倍數(shù)，所以最大公約數(shù)為6．
解答：解：n³+3n²+2n=n（n+1）（n+2），
∵n、n+1、n+2是連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，（2分）
∴其中必有一個(gè)是2的倍數(shù)、一個(gè)是3的倍數(shù)，（3分）
∴n³+3n²+2n=n（n+1）（n+2）一定是6的倍數(shù)，（4分）
又∵n³+3n²+2n的最小值是6，（5分）
（如果不說(shuō)明6是最小值，則需要說(shuō)明n、n+1、n+2中除了一個(gè)是2的倍數(shù)、一個(gè)是3的倍數(shù)，第三個(gè)不可能有公因數(shù)．否則從此步以下不給分）
∴最大公約數(shù)為6．（6分）
點(diǎn)評(píng)：主要考查了利用因式分解的方法解決實(shí)際問(wèn)題．要先分解因式并根據(jù)其實(shí)際意義來(lái)求解．