Question

（2009•朝陽區(qū)一模）（1）已知：如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D、E在斜邊AB上，且∠DCE=45度．求證：線段DE、AD、EB總能構(gòu)成一個(gè)直角三角形；
（2）已知：如圖2，等邊三角形ABC中，點(diǎn)D、E在邊AB上，且∠DCE=30°，請你找出一個(gè)條件，使線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，并求出此時(shí)等腰三角形頂角的度數(shù)；
（3）在（1）的條件下，如果AB=10，求BD•AE的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通過構(gòu)建全等三角形將所求的三條線段轉(zhuǎn)換到同一個(gè)三角形中，然后證明那個(gè)三角形是直角三角形即可．可以CE為一邊作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，連接DF、EF，那么我們可得出△CFE≌△CBE，于是EF=BE，然后我們再設(shè)法求得AD=DF，就能將三條線段轉(zhuǎn)換到同一三角形中了．要證明AD=DF就要證明三角形DCF和DCA全等．這兩個(gè)三角形中已知的條件AC=BC=CF，又有一條公共邊只要證得兩組對應(yīng)邊的夾角相等即可．∠DCE=∠ECF+∠DCF=45°，那么∠DCA+∠ECB=45°，因此∠DCF=∠DCA這樣就構(gòu)成了三角形全等的條件，那么兩三角形全等，AD=DF，根據(jù)上面兩組全等三角形，我們可得出∠1+∠2=∠A+∠B=90°，因此三角形DEF是個(gè)直角三角形，那么也就得出AD、DE、BE總能構(gòu)成一個(gè)直角三角形了．
（2）解題思路和輔助線作法與（1）完全相同，只不過得出AD=DF，EF=BE后，要使三角形DEF是個(gè)等腰三角形就要讓DE=EF，即AD=BE，那么這個(gè)條件就是AD=BE．
（3）本題可通過相似三角形得出線段的比例來求得．∠AEB=45°+∠BCE=∠BCD，∠A=∠B=45°，我們可得出AE：BC=AC：BD，即BD•AE=AC•BC=AC²，直角三角形ACB中，我們知道AC²+BC²=AB²，即AC²=50，那么BD•AE=50．
解答：（1）證明：如圖1，∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°．
以CE為一邊作∠ECF=∠ECB，在CF上
截取CF=CB，則CF=CB=AC．
連接DF、EF，則△CFE≌△CBE．
∴FE=BE，∠1=∠B=45°．
∵∠DCE=∠ECF+∠DCF=45°，
∴∠DCA+∠ECB=45°．
∴∠DCF=∠DCA．
又∵AC=CF，CD=CD
∴△DCF≌△DCA．
∴∠2=∠A=45°，DF=AD．
∴∠DFE=∠2+∠1=90°．
∴△DFE是直角三角形．
又AD=DF，EB=EF，
∴線段DE、AD、EB總能構(gòu)成一個(gè)直角三角形．

（2）解：當(dāng)AD=BE時(shí)，線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形．
如圖2，與（1）類似，以CE為一邊，作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，
可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA．
∴AD=DF，EF=BE．
∴∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°．
若使△DFE為等腰三角形，只需DF=EF，即AD=BE．
∴當(dāng)AD=BE時(shí)，線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形．
且頂角∠DFE為120°．

（3）解：如圖1，
∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠CDB=∠ACD+∠A．
又∠DCE=∠A=45°，
∴∠ACE=∠CDB．
又∠A=∠B，
∴△ACE∽△BDC．
∴．
∴BD•AE=AC•BC．
∵Rt△ACB中，由AC²+BC²=AB²=10²，得AC²=BC²=50．
∴BD•AE=AC•BC=AC²=50．
點(diǎn)評：本題中利用全等或相似三角形來得出角相等，線段相等或成比例是解題的關(guān)鍵．