Question

（2004•無(wú)錫）已知直線(xiàn)y=-2x+b（b≠0）與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B；一拋物線(xiàn)的解析式為y=x²-（b+10）x+c．
（1）若該拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B，且它的頂點(diǎn)P在直線(xiàn)y=-2x+b上，試確定這條拋物線(xiàn)的解析式；
（2）過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)BC⊥AB交x軸于點(diǎn)C，若拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸恰好過(guò)C點(diǎn)，試確定直線(xiàn)y=-2x+b的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）先表示出B、P的坐標(biāo)，然后將B代入拋物線(xiàn)的解析式中，將P代入直線(xiàn)的解析式中，聯(lián)立兩式可求出b、c的值，即可確定拋物線(xiàn)的解析式；
（2）可根據(jù)直線(xiàn)AB的解析式表示出A、B的坐標(biāo)，即可求出OA、OB的長(zhǎng)，由于∠ABC=90°，在直角三角形ABC中，可用射影定理求出OC的長(zhǎng)，然后聯(lián)立拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸方程即可求出b的值．也就求出了直線(xiàn)AB的解析式．
解答：解：（1）直線(xiàn)y=-2x+b與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（，0），點(diǎn)B坐標(biāo)（0，b），
由題意知，拋物線(xiàn)頂點(diǎn)P坐標(biāo)為（），
∵拋物線(xiàn)頂點(diǎn)P在直線(xiàn)y=-2x+b上，且過(guò)點(diǎn)B，
解得b₁=-10，c₁=-10，b₂=-6，c₂=-6，
∴拋物線(xiàn)解析式為y=x²-10或y=x²-4x-6；

（2）∵點(diǎn)A坐標(biāo)（，0），點(diǎn)B坐標(biāo)（0，b），
∴OA=||，OB=|b|，
又∵OA⊥OB，AB⊥BC，
∴△OAB∽△OBC
∴=
∴OB²=OA•OC，
即b²=OC•||，
∴OC=
∵拋物線(xiàn)y=x²-（b+10）x+c的對(duì)稱(chēng)軸為x=且拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸過(guò)點(diǎn)C，
∴||=．
（i）當(dāng)b≤-10時(shí)，-=-2b，
∴b=（舍去）
經(jīng)檢驗(yàn)，b=不合題意，舍去．
（ii）當(dāng)-10≤b＜0時(shí)，=-2b，
∴b=-2，
（iii）當(dāng)b＞0時(shí)，=2b，
∴b=，
此時(shí)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)為x=-=＞0，
BC與x軸的交點(diǎn)在x軸負(fù)半軸，
故不符合題意，舍去．
∴直線(xiàn)的解析式為y=-2x-2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式的確定以及函數(shù)圖象交點(diǎn)等知識(shí)，要注意（2）中，在b的取值范圍不確定的情況下，要分類(lèi)討論，以免漏解．