Question

如圖，拋物線y=ax²-2ax-3a交y軸于A點，交x軸于B，C兩點（B在C右邊），頂點為D．
（1）求B點的坐標并直接寫出A、D的坐標（用含a的式子表示）；
（2）若以A、B、D為頂點的三角形為直角三角形，求a的值；
（3）在（2）的條件下，當OA=OB時，拋物線上是否存在點M，使∠DBO=∠MDB？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²-2ax-3a，
∴當x=0時，y=-3a，
∴與y軸交點A的坐標為（0，-3a）．
∵拋物線y=ax²-2ax-3a交x軸于B，C兩點（B在C右邊），
∴a≠0，
令y=0，解得x=3或-1，
∴B（3，0），C（-1，0），
又∵y=ax²-2ax-3a=a（x-1）²-4a，
∴頂點D的坐標為（1，-4a）；

（2）由（1）知A（0，-3a），D（1，-4a），
∴AD²=1+（-3a+4a）²=1+a²，
BD²=（3-1）²+（4a）²=4+16a²，
AB²=3²+（3a）²=9+9a²．
若以A、B、D為頂點的三角形為直角三角形，則分三種情況討論：
①若∠ADB=90°，則AD²+BD²=AB²，
∴1+a²+4+16a²=9+9a²，
∴a=±；
②若∠DAB=90°，則AD²+AB²=BD²，
∴1+a²+9+9a²=4+16a²，
∴a=±1；
③若∠ABD=90°，則BD²+AB²=AD²，
∴4+16a²+9+9a²=1+a²，
a無解．
綜上，若以A，B，D為頂點的三角形為直角三角形，則a₁=，a₂=-，a₃=1，a₄=-1；

（3）在拋物線上存在點M，能夠使∠DBO=∠MDB．
如圖，∵OA=OB=3，
∴-3a=3，
∴a=-1．
∴A（0，3），D（1，4），B（3，0）．
若點M在x≥1的拋物線上時，∵∠DBO=∠MDB，∴MD∥OB，又點M是拋物線上的點，∴點D與點M重合，不符合題意．
∴點M在x＜1的拋物線上．
如圖，延長DM交x軸于點F，連接BD．設F（x，0）．
∵∠DBO=∠MDB，
∴FD=FB．
∴（1-x）²+4²=（3-x）²，解得x=-2．則F（-2，0）．
易求直線FD的方程為：y=x+．
則，
解得或（舍去），
即M（-，）．
分析：（1）令x=0求得點A的坐標，令y=0來求點B、C的坐標；把拋物線方程轉化為頂點式，直接寫出點D的坐標；
（2）根據(jù)點A、B、D的坐標，利用兩點間的距離公式易求AD²=1+a²，BD²=4+16a²，AB²=9+9a²．然后分別以AD、BD、AB為斜邊來求相應的a的值；
（3）由OA=OB易求D（1，4），B（3，0）．若點M在x≥1的拋物線上時，因為∠DBO=∠MDB，所以MD∥OB，又點M是拋物線上的點，所以點D與點M重合，不符合題意．故點M在x＜1的拋物線上．如圖，延長DM交x軸于點F，連接BD．設F（x，0）．根據(jù)兩點間的距離公式可以求得點F的坐標，根據(jù)點F、D的坐標易求直線FD的方程，由該方程結合拋物線方程列出方程組，即可求得點M的坐標．
點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題．其中涉及到的知識點有二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，勾股定理，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．