Question

已知ABCD是圓內(nèi)接四邊形，兩組對邊延長后分別交于E，F(xiàn)，且EA•ED=25，F(xiàn)C•FD=144，則EF=

13

．

Answer 1

分析：在∠A內(nèi)作∠EAG交EF于點(diǎn)G，使∠EAG=∠DFE，則∠FAG=∠FEB，由△EAG∽△EFD和△EFB∽△AFG得到一個(gè)結(jié)論，然后由割線定理得到一個(gè)結(jié)論，從而解得．

解答：解：∵∠A=∠BCF=∠CFE+∠CE
∴在∠A內(nèi)作∠EAG交EF于點(diǎn)G，使∠EAG=∠DFE，則∠FAG=∠FEB，
在△EAG和△EFD中，∠EAG=∠DFE，∠AEG=∠FED，
則△EAG∽△EFD，
∴EA：EF=EG：ED，
即EG×EF=EA×ED      （1），
在△EFB和△AFG中，∠FAG=∠FEB，∠AFG=∠EFB，
所以△EFB∽△AFG，
∴AF：EF=FG：FB，
即FG×EF=AF×BF     （2），
（1）+（2）得：EG×EF+FG×EF=EA×ED+AF×BF，
EF×（EG+FG）=EA×ED+AF×BF，
即EF²=EA×ED+AF×BF，
由割線定理，得到AF×BF=FC×FD，
∴EF²=EA×ED+FC×FD=25+144=169，
因此EF=13．

點(diǎn)評：本題巧妙地從△EAG∽△EFD和△EFB∽△AFG得到的結(jié)論，同切割定理結(jié)合起來，從而解得．