Question

把一邊長為40cm的正方形硬紙板，進行適當?shù)募舨茫�折成一個長方體盒子（紙板的厚度忽略不計）．如圖，若在正方形硬紙板的四角各剪一個同樣大小的正方形，將剩余部分折成一個無蓋的長方形盒子．
（1）折成的長方形盒子的側(cè)面積是否有最大值？如果有，求出這個最大值和此時剪掉的正方形的邊長；如果沒有，說明理由．
（2）若在正方形硬紙板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一條邊在正方形硬紙板的邊上），將剩余部分折成一個有蓋的長方形盒子，折成的長方形盒子的側(cè)面積是否有最大值？如果有，求出這個最大值和此時剪掉的正方形的邊長；如果沒有，說明理由．

Answer 1

分析：（1）側(cè)面積有最大值，設(shè)剪掉的正方形邊長為acm，盒子的側(cè)面積為y，利用長方形盒子的側(cè)面積為：y=（40-2a）×a×4得出即可．
（2）假設(shè)剪掉的長方形盒子的高為xcm，利用折成的一個長方形盒子的側(cè)面積ycm²，由題意可得到y(tǒng)和x的二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．

解答：解：（1）側(cè)面積有最大值．
理由如下：
設(shè)剪掉的小正方形的邊長為acm，盒子的側(cè)面積為ycm²，
則y與x的函數(shù)關(guān)系為：y=4（40-2a）a，
即y=-8a²+160a，
即y=-8（a-10）²+800，
∴a=10時，y_最大=800．
即當剪掉的正方形的邊長為10cm時，長方形盒子的側(cè)面積最大為800cm²．

（2）在如圖的一種剪裁圖中，設(shè)剪掉的長方形盒子的高為xcm．
y=2（60-3x）x=-6x2+12x=-6（x-10）²+600，
∴x=10時，y_最大=600．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的應用，找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系準確的列出函數(shù)關(guān)系式是解決問題的關(guān)鍵．