Question

24、問(wèn)題背景：某課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，得到了如下命題：
如圖①，在正五邊形ABCDE中，M、N分別是CD、DE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若CM=DN，則∠BON=108°．
該小組提出了一個(gè)大膽的猜想：如圖②，在正五邊形ABCDE中，M、N分別是DE、EA上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若DM=EN，則∠BON=108°．
請(qǐng)問(wèn)他們的猜想是否正確？若正確，請(qǐng)寫出解答過(guò)程；若不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：連接EC、BD，由正五邊形推出∴∠CBD=∠CDB=∠ECD=∠DEC=36°，△BCD≌△CDE，證出△CEN≌△BDM推出∠ECN=∠DBM，根據(jù)∠BON=∠OBC+∠OCB即可求出答案．

解答：結(jié)論：猜想正確
證明：連接EC、BD，
∵五邊形ABCDE為正五邊形，
∴∠BCD=∠CDE=∠DEA=108°，BC=CD=DE，
∴∠CBD=∠CDB=∠ECD=∠DEC=36°，
△BCD≌△CDE，
∴∠NEC=∠BDM=∠BCE=72°，BD=EC，
又∵DM=EN，
∴△CEN≌△BDM，
∴∠ECN=∠DBM，
∴∠BON=∠OBC+∠OCB=∠DBC+∠ECB=36°+72°=108°，
∴∠BON=108°．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)全等三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，多邊形的內(nèi)角和外角等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能熟練地運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．