Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD的一條邊AD=8 cm，點(diǎn)P在CD邊上，AP=AB， PC=4cm，連結(jié)PB．點(diǎn)M從點(diǎn)P出發(fā)，沿PA方向勻速運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不重合）；點(diǎn)N同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段AB的延長(zhǎng)線勻速運(yùn)動(dòng)，連結(jié)MN交PB于點(diǎn)F．

（1）求AB的長(zhǎng)；

（2）若點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度為2cm/s，△AMN的面積為S，點(diǎn)M和點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，求S與的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值；

（3）若點(diǎn)M和點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度相等，作ME⊥BP于點(diǎn)E．試問(wèn)當(dāng)點(diǎn)M、N在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，說(shuō)明理由；若不變，求出線段EF的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）10；（2）時(shí)，S取得最大值為45．（3）點(diǎn)M、N在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段EF的長(zhǎng)度不變，長(zhǎng)度為．

【解析】試題分析：（1）設(shè)AB=x，根據(jù)折疊可得AP=CD=x，DP=CD-CP=x-4，利用勾股定理，在Rt△ADP中，AD2+DP2=AP2，即82+（x-4）2=x2，即可解答；（2）過(guò)點(diǎn)M作MG⊥AN于點(diǎn)G，則∠AGM=∠D＝90°，所以∠APD=∠MAG，則Rt△APD∽Rt△MAG，所以，即，可得出， 又因?yàn)?/span>，所以 ，則當(dāng)時(shí)，S取得最大值為45；（3）作MQ∥AN，交PB于點(diǎn)Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根據(jù)MH⊥PQ，得出HQ= PQ，根據(jù)∠QMF=∠BNF，證出△MFQ≌△NFB，得出QF=QB，再求出EF=PB，最后代入HF=PB即可得出線段EF的長(zhǎng)度不變；

試題解析：

（1）設(shè)AB= ，則AP= ，DP= ，

在Rt△ADP中， 由勾股定理得：

，

解得： ，

∴AB =10．

（2）過(guò)點(diǎn)M作MG⊥AN于點(diǎn)G，則∠AGM=∠D＝90°，

∵DC∥AB，

∴∠APD=∠MAG，

∴Rt△APD∽Rt△MAG，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴

∴當(dāng)時(shí)，S取得最大值為45．

（3）作MQ∥AN，交PB于點(diǎn)Q，

∵AP=AB，MQ∥AN，

∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP，

∴∠APB=∠MQP，

∴MP=MQ，

∵ME⊥PQ，

∴PE=EQ=PQ，

∵BN=PM，PM=MQ，

∴BN=QM，

∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF，

在△MFQ和△NFB中，

∵，

∴△MFQ≌△NFB，

∴QF=BF，

∴QF=QB，

∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB，

在Rt△PBC中，

∵PC=4，BC=8，

∴，

∴EF=PB=，

∴點(diǎn)M、N在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段EF的長(zhǎng)度不變，長(zhǎng)度為．