Question

如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點的直線互相垂直，垂足為D，且AC平分∠DAB，延長AB交DC于點E．
（1）求證：直線DE與⊙O相切；
（2）求證：AC²=AD•AB；
（3）若AC=2，AB-AD=2，求sin∠BCE的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，根據已知推出∠DAC=∠BAC=∠OCA，推出OC∥AD，推出OC⊥ED，根據切線判定推出即可；
（2）證△ADC∽△ACB，得出比例式，即可得出答案；
（3）根據AC²=AD•AB求出AD長，求出∠DAC=∠BCE，在Rt△DAC中，解直角三角形求出即可．
解答：（1）證明：連接OC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥ED，
∴OC⊥DE，
∵OC為半徑，
∴DE是⊙O的切線．

（2）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AD⊥DE，
∴∠ADC=90°=∠ACB，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴=，
∴AC²=AD•AB．

（3）解：設AD=x，則AB=x+2，
∵AC²=AD•AB．，
∴（2）²=x（x+2），整理得x²+2x-24=0，
解得x₁=4，x₂=-6（舍），
∴AD=4，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴∠DAC+∠DCA=90°，∠DCA+∠BCE=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
∴cos∠BCE=cos∠DAC===．
點評：本題考查了平行線的性質和判定，切線的判定，圓周角定理，相似三角形的性質和判定，等腰三角形的性質，銳角三角函數的定義的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力．