Question

（2013•吳江市模擬）如圖，直線y=kx+b交x軸于點(diǎn)A（-1，0），交y軸于點(diǎn)B（0，4），過A、B兩點(diǎn)的拋物線交x軸于另一點(diǎn)C．
（1）直線的解析式為

y=4x+4

；
（2）在該拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)動(dòng)P，連接PA、PB，若測(cè)得PA+PB的最小值為5，求此拋物線的解析式及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）條件下，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入直線解析式，求出k、b的值，繼而得出直線的解析式；
（2）連接BC，則BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即是P點(diǎn)的位置，根據(jù)PA+PB的最小值為5，可求出OC，利用待定系數(shù)法可求出拋物線解析式，直線BC解析式，也可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)存在這樣的點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為（1，y），然后分三種情況討論，①Q(mào)A=QB，②BA=BQ，③AB=AQ，分別求出y的值后即可得出點(diǎn)Q坐標(biāo)．

解答：解：（1）將點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（0，4）代入直線y=kx+b得：

-k+b=0 b=4

，
解得：

k=4 b=4

，
故直線解析式為y=4x+4．

（2）∵點(diǎn)A、點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，故PA+PB的最小值為線段BC的長(zhǎng)，
∴BC=5，
在Rt△BOC中，BC=5，BO=4，
∴OC=

52-42

=3，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），
將點(diǎn)B（0，4）代入得：a=-

4

3

，
∴拋物線的解析式為：y=-

4

3

（x+1）（x-3）=-

4

3

x²+

8

3

x+4．
設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，
將點(diǎn)B（0，4），點(diǎn)C（3，0）代入可得：

3k+b=0 b=4

，
解得：

k=- 4 3 b=4

，
故直線BC的解析式為：y=-

4

3

x+4，
又∵拋物線的對(duì)稱軸為x=1，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，

8

3

）．

（3）存在這樣的點(diǎn)Q，使△ABQ為等腰三角形．
設(shè)Q（1，y），
①當(dāng)QA=QB時(shí)，則有1²+（y-4）²=（-1-1）²+y²，
解得：y=

13

8

，即Q（1，

13

8

）；
②當(dāng)BA=BQ時(shí)，易知Q（1，0），Q（1，8）（不合題意，舍去）；
③當(dāng)AB=AQ時(shí)，Q（1，

13

）或Q（1，-

13

）．
所以滿足條件的Q有四個(gè)：Q（1，

13

8

），Q（1，0），Q（1，

13

）或Q（1，-

13

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、軸對(duì)稱求最短路徑及等腰三角形的知識(shí)，難點(diǎn)在第三問，解答本題的關(guān)鍵是分類討論，不要漏解．