Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+4x+c過點(diǎn)A(6，0)、B(3，)，與y軸交于點(diǎn)C．聯(lián)結(jié)AB并延長，交y軸于點(diǎn)D．

(1)求該拋物線的表達(dá)式；

(2)求△ADC的面積；

(3)點(diǎn)P在線段AC上，如果△OAP和△DCA相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)y=-x2+4x-6；(2)S△ADC=27；(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，-4)或(，-)．

【解析】

(1)將A(6，0)，B(3，)代入y=ax2+4x+c，即可求出a，c值，進(jìn)一步寫出拋物線解析式；

(2)分別求拋物線，直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)D，C的坐標(biāo)，可直接求出△ADC的面積；

(3)先求出∠OAC=∠OCA=45°，再分類討論△OAP和△DCA相似的兩種情況，求出AP長度，可利用特殊角進(jìn)一步求出相關(guān)線段的長度，即可寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：(1)將A(6，0)，B(3，)代入y=ax2+4x+c，

得，，

解得，a=-，c=-6，

∴該拋物線解析式為：y=-x2+4x-6；

(2)將A(6，0)，B(3，)代入y=kx+b，

得，，

解得，k=-，b=3，

∴yAB=-x+3，

當(dāng)x=0時(shí)，y=3，

∴D(0，3)，OD=3，

在拋物線y=-x2+4x-6中，

當(dāng)x=0時(shí)，y=-6，

∴C(0，-6)，OC=6，

∴DC=OC+OD=9，

∵A(6，0)，

∴OA=6，

∴S△ADC=DCOA=27；

(3)由(2)知，OC=OA=6，

∴△AOC為等腰直角三角形，

∴∠OAC=∠OCA=45°，AC=OA=6，

如圖所示，連接OP，過點(diǎn)P作PH⊥OA于H，

則△PHA為等腰直角三角形，

①當(dāng)△DCA∽OAP時(shí)，

=，

即=，

∴AP=4，

∴HP=HA=AP=4，OH=OA-HA=2，

∴P(2，-4)；

②當(dāng)△DCA∽△PAO時(shí)，

=，

即=，

∴PA=，

∴HP=HA=，

∴OH=OA-AH=，

∴P(，-)，

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，-4)或(，-)．