解:(1)連接PC,過B作BN⊥x軸于點N.
∵PC=PA(⊙P的半徑),
∴∠1=∠2(等邊對等角).
∵A(10,0),B(6,8),
∴OA=10,BN=8,ON=6,
∴在Rt△OBN中,OB=
=10(勾股定理),
∴OA=OB,
∴∠OBA=∠1(等邊對等角),
∴∠OBA=∠2(等量代換),
∴PC∥OB(同位角相等,兩直線平行).
∵CD⊥OB,
∴CD⊥PC,
∴CD為⊙P的切線;
(2)如圖2,過B作BN⊥x軸于點N,設(shè)圓P的半徑為r.
∵⊙P與OB相切于點E,則OB⊥PE,OA=10,
∴在Rt△OPE中,sin∠EOP=
=
,
在Rt△OBN中,sin∠BON=
=
=
,
∴
=
,
解得:r=
;
(3)①如圖3,∵由(2)知r=
,
∴在Rt△OPE中,OE=
=
=
(勾股定理),
∵∠PCD=∠CDE=∠PED=90°,
∴四邊形PCDE是矩形.
又∵PE=PC(⊙O的半徑),
∴矩形PCDE是正方形,
∴DE=DC=r=
,
∴BD=OB-OE-DE=10-
-
=
.
∵∠BFD=∠PFC,∠PEO=∠PCF=90°,
∴△BDF∽△PCF,
∴
=
,即
=
,
解得,CF=
,即CF的長度是
;
②假設(shè)在線段DE上是否存在點G使∠GPF=45°.
如圖4所示,在線段DE上截取EQ=EG.
∵OB⊥PE,
∴∠GQE=45°,
∴∠GQP=135°.
∵四邊形PCDE是正方形,
∴PD=
PC=
,∠EPD=∠PDC=45°,
∴∠2+∠3=45°.
∵∠FPG=45°,
∴∠1+∠2=45°
∴∠1=∠3
∵∠BDP=∠BDC+∠PDC=90°+45°=135°
∴∠GQP=∠BDP
∴△GQP∽△BDP
∴
=
∵OE=
,DE=
,OB=10,
∴BD=OB-ED-OE=
.
設(shè)EG=a,則GQ=
a,PQ=PE-EQ=
-a,
∴
=
,
解得,a=
,即EG的長度是
.
分析:(1)如圖1,連接PC,過B作BN⊥x軸于點N.欲證CD是⊙P的切線,只需證明PC⊥CD即可;
(2)如圖2,過B作BN⊥x軸于點N,設(shè)圓P的半徑為r.根據(jù)切線的性質(zhì)知PE⊥OE,所以在Rt△OPE和Rt△OBN中,利用∠BON的正弦函數(shù)的定義列出關(guān)于r的比例式
=
,由此可以求得r的值;
(3)①如圖3,由正方形PCDE的四條邊相等知DE=DC=r,則BD=OB-OE-DE.然后將其代入相似三角形(△BDF∽△PCF)的對應(yīng)邊成比例的比例式
=
中,從而求得CF的值;
②假設(shè)在線段DE上是否存在點G使∠GPF=45°.如圖4所示,在線段DE上截取EQ=EG.通過相似三角形:△GQP∽△BDP
,的對應(yīng)邊成比例求得BD=
,然后將相關(guān)線段的長度代入該比例式來求線段EG的長度.
點評:本題考查了圓的綜合題.解題時,注意“數(shù)學(xué)結(jié)合”數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.在證明(3)②時,巧妙的運用了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),切線的性質(zhì)求得EG的長度.