Question

點A在x軸上，OA_＝4，將線段OA繞點O逆時針旋轉120°至OB的位置.

（1）求點B的坐標；

（2）求經(jīng)過點A、O、B的拋物線的解析式；

（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

答案：解：（1）如圖，過點B作BC⊥x軸，垂足為C，則∠BCO_＝90°.

       ∵∠AOB_＝120°，∴∠BOC_＝60°.

       又∵OA_＝OB_＝4

∴OC_＝OB_＝×4_＝2，BC_＝OB·sin60°_＝4×_＝2.

∴點B的坐標是(－2，2).                           （4分）

（2）∵拋物線過原點O和點A、B，∴可設拋物線解析式為y_＝ax²+bx..

 將A(4，0)，B(－2，2)代入，

得解得

∴此拋物線的解析式為y_＝.                 （8分）

（3）存在.

  如圖，拋物線的對稱軸是x_＝2，直線x_＝2與x軸的交點為D.

設點P的坐標為(2，y)

①若OB_＝OP，

則2²+| y |²_＝4²，解得y_＝±2.

當y_＝－2時，在Rt△POD中，∠POD_＝90°，

sin∠POD_＝.

∴∠POD_＝60°.

∴∠POB_＝∠POD+∠AOB_＝60°+120°_＝180°，

即P，O，B三點在同一條直線上，

∴y_＝－2不符合題意，舍去. ∴點P的坐標為(2，2).

②若OB_＝PB，則4²+| y －2|²_＝4²，解得y_＝2.

∴點P的坐標是(2，2).

③若OP_＝PB，則2²+| y |²_＝4²+| y－2 |²，解得y_＝2.

∴點P的坐標是(2，2).

綜上所述，符合條件的點P只有一個，其坐標為(2，2).   （14分）