Question

如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，邊CD在直線l上，將矩形ABCD沿直線l作無(wú)滑動(dòng)翻滾，當(dāng)點(diǎn)A第一次翻滾到點(diǎn)A₁位置時(shí)，則點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為　6π　．

Answer 1

考點(diǎn)：

弧長(zhǎng)的計(jì)算；矩形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．

專(zhuān)題：

規(guī)律型．

分析：

如圖根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)是三段：①以90°為圓心角，AD長(zhǎng)為半徑的扇形的弧長(zhǎng)；②以90°為圓心角，AB長(zhǎng)為半徑的扇形的弧長(zhǎng)；③90°為圓心角，矩形ABCD對(duì)角線長(zhǎng)為半徑的扇形的弧長(zhǎng)．

解答：

解：∵四邊形ABCD是矩形，AB=4，BC=3，

∴BC=AD=3，∠ADC=90°，對(duì)角線AC（BD）=5．

∵根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，∠ADA′=90°，AD=A′D=BC=3，

∴點(diǎn)A第一次翻滾到點(diǎn)A′位置時(shí)，則點(diǎn)A′經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為：=．

同理，點(diǎn)A′第一次翻滾到點(diǎn)A″位置時(shí)，則點(diǎn)A′經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為：=2π．

點(diǎn)″第一次翻滾到點(diǎn)A₁位置時(shí)，則點(diǎn)A″經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為：=．

則當(dāng)點(diǎn)A第一次翻滾到點(diǎn)A₁位置時(shí)，則點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為：+2π+=6π．

故答案是：6π．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算、矩形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．根據(jù)題意畫(huà)出點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)軌跡，是突破解題難點(diǎn)的關(guān)鍵．