Question

已知Rt△ABC,∠ACB=90°,AC=BC=4,點(diǎn)O是AB中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C出發(fā)，沿AC、CB以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C、B后停止。連結(jié)PQ、點(diǎn)D是PQ中點(diǎn)，連結(jié)CD并延長交AB于點(diǎn)E.

（1）試說明：△POQ是等腰直角三角形；
（2）設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，試用含t的代數(shù)式來表示△CPQ的面積S，并求出
S的最大值；
（3）如圖2，點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，連結(jié)EP、EQ，問四邊形PEQC是什么四邊形，并說明理由；
（4）求點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長（直接寫出結(jié)果）.

Answer 1

角度轉(zhuǎn)換；2；矩形；

試題分析：(1)、證明：連接CO，則：CO⊥AB ∠BCO=∠A="45°" CO=AO=1/2AB
在△AOP和△COQ中
AP="CQ" ，∠A=∠BCO，AO="CO"           
∴△AOP≌△COQ   (SAS)
∴OP="OQ"    ∴∠AOP=∠COQ　
∴∠POQ=∠COQ+∠COP =∠AOP+∠COP=∠AOC =90°　     
∴△ POQ是等腰直角三角形（3分）
(2)、S=CQ×CP =t(4-t) =t²+2t = (t-2)²+2
當(dāng)t=2時(shí)，S取得最大值，最大值S="2" （3分）
(3)、四邊形PEQC是矩形
證明：連接OD
∵點(diǎn)D是PQ中點(diǎn)
∴CD=PD=DQ=PQ
OD=PD=DQ=PQ
∴CD="OD"
∴∠DCO=∠DOC
∵∠CEO+∠DCO=90°
∠DOE+∠DOC=90°
∴∠CEO=∠DOE
∴DE=DO
∴DE=CD
∵PD=DQ
∴四邊形PEQC是平行四邊形
又∠ACB=90° ∴四邊形PEQC是矩形（3分）
(4)、由DO=DC可知：點(diǎn)D在線段OC的垂直平分線上，其運(yùn)動(dòng)路徑為CO垂直平分線與AC、BC交點(diǎn)間線段
點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長=AB=（3分）
點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握判定兩個(gè)三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．