Question

已知：直線與y軸交于A，與x軸交于D，拋物線y=x²+bx+c與直線交于A、E兩點(diǎn)，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為 （1，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是直線AE上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PBC周長最小時(shí)，求點(diǎn)P坐標(biāo)；
（3）動(dòng)點(diǎn)Q在x軸上移動(dòng)，當(dāng)△QAE是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（4）在y軸上是否存在一點(diǎn)M，使得點(diǎn)M到C點(diǎn)的距離與到直線AD的距離恰好相等？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）∵直線與y軸交于A，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2），
∵B點(diǎn)坐標(biāo)為 （1，0）．
∴
∴；

（2）作出C關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)F，由B和F確定出直線BF，與直線AE交于P點(diǎn)，

P（）；

（3）根據(jù)題意得：x+2=x²-x+2，
解得：x=0或x=6，
∴A（0，2），E（6，5），
∴AE=3，
設(shè)Q（x，0），
①若Q為直角頂點(diǎn)，
則AQ²+EQ²=AE²，
即x²+4+（x-6）²+25=45，
此時(shí)x無解；
②若點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，
則AQ²+AE²=EQ²，
即x²+4+45=（x-6）²+25，
解得：x=1，
即Q（1，0）；
③若E為直角頂點(diǎn)，
則AQ²=AE²+EQ²，
即x²+4=45+（x-6）²+25，
解得：x==，
此時(shí)求得Q（，0）；
∴Q（1，0）或（，0）

（4）假設(shè)存在，設(shè)M坐標(biāo)為（0，m），則OM=|m|，
此時(shí)MD⊥AD，
∵OC=4，AO=2，OD=4，
∴在直角三角形AOD中，根據(jù)勾股定理得：AD=2，且AM=2-m，CM=，
∵M(jìn)D=MC，
∴根據(jù)勾股定理得：=，
即（2-m）²-（2）²=m²+16，
解得m=-8，
則M（0，-8）．
分析：（1）利用直線與y軸交于A，求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用B點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式即可；
（2）求出點(diǎn)C關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后求出直線BF的解析式后求與直線AE的交點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（3）設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后表示出AP、EP的長，求出AE的長，利用勾股定理得到有關(guān)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)的方程，求得其橫坐標(biāo)即可；
（4）設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，利用C點(diǎn)的距離與到直線AD的距離恰好相等，得到有關(guān)M點(diǎn)的縱坐標(biāo)的方程解得M點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)綜合知識(shí)，函數(shù)綜合題是初中數(shù)學(xué)中覆蓋面最廣、綜合性最強(qiáng)的題型．近幾年的中考?jí)狠S題多以函數(shù)綜合題的形式出現(xiàn)．解決函數(shù)綜合題的過程就是轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、方程思想的應(yīng)用過程．