Question

如圖，直線OC、BC的函數關系式分別是：y₁=x和y₂=-2x+6，動點P（x，0）在OB上運動（0＜x＜3）
（1）求點C的坐標，并回答當x取何值時y₁＞y₂？
（2）求△COB的面積；
（3）是否存在點P，使CP將△COB分成的兩部分面積之比為1：2？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）解方程組 ，
解得 ，
∴C點坐標為（2，2）；
∴當x＞2時，y₁＞y₂；

（2）如上圖，作CD⊥x軸于點D，則D（2，0），
∵直線y₂=-2x+6與x軸交于B點，
∴B（3，0），
∴S_△BOC=OB•CD=×3×2=3

（3）∵CP將△COB分成的兩部分面積之比為1：2，
∴①S_△COP=S_△BOC
=×3=1，
∴OP•CD=×OP•2=1，
∴OP=1，
∴P點的坐標（1，0）；
②S_△COP=S_△BOC
=×3=2，
∴OP•CD=×OP•2=2，
∴OP=2，
∴P點的坐標（2，0）；
分析：（1）首先根據直線OC、BC的函數關系式分別是y₁=x和y₂=-2x+6，列出方程組 ，求得兩直線的交點坐標．
（2）先作CD⊥x軸于點D，求出D點的坐標，再根據直線y₂=-2x+6與x軸交于B點，求出點B的坐標，即可得出S_△BOC；
（3）根據CP將△COB分成的兩部分面積之比為1：2，分兩種情況得出①S_△COP=S_△BOC，再求出^_△COD的面積，得出OP=1，即可得出P點的坐標；②S_△COP=S_△BOC，求出△COD的面積，得出OP=2，即可得出P點的坐標；
點評：此題主要考查平面直角坐標系中圖形的面積的求法．解答此題的關鍵是根據一次函數的特點，分別求出各點的坐標再計算．本題是函數與三角形相結合的問題，在圖形中滲透運動的觀點是中考中經常出現的問題．