Question

△ABC是一張等腰直角三角形紙板，∠C=Rt∠，AC=BC=2，(1)要在這張紙板中剪出一個盡可能大的正方形，有甲、乙兩種剪法(如圖1)，比較甲、乙兩種剪法，哪種剪法所得的正方形面積大？請說明理由。

甲              乙

(2)圖1中甲種剪法稱為第1次剪取，記所得正方形面積為；按照甲種剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分別剪取正方形，得到兩個相同的正方形，稱為第2次剪取，并記這兩個正方形面積和為(如圖2)，則；再在余下的四個三角形中，用同樣方法分別剪取正方形，得到四個相同的正方形，稱為第3次剪取，并記這四個正方形面積和為，繼續(xù)操作下去……，則第10次剪取時，；

(3)求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面積之和。

 

Answer 1

 (1)解法1：如圖甲，由題意，得AE=DE=EC，即EC=1，

              如圖乙，設(shè)MN=x，則由題意，得AM=MQ=PN=NB=MN=x，

              ∴，解得

              ∴

              又∵

              ∴甲種剪法所得的正方形面積更大。

              說明：圖甲可另解為：由題意得點(diǎn)D、E、F分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，

    解法2：如圖甲，由題意得AE=DE=EC，即EC=1

            如圖乙，設(shè)MN=x，則由題意得AM=MQ=QP=PN=NB=MN=x，

            ∴，解得

            又∵，即

            ∴甲種剪法所得的正方形面積更大。

(2)          

(3)解法1：探索規(guī)律可知：

          剩余三角形面積和為

         

                              

   解法2：由題意可知，

          第一次剪取后剩余三角形面積和為

          第二次剪取后剩余三角形面積和為

          第三次剪取后剩余三角形面積和為

          ……

          第十次剪取后剩余三角形面積和為