Question

（1999•溫州）已知x₁，x₂是關(guān)于工的方程x²-3x+m=0兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)S=x₁²+x₂²．
（1）求S關(guān)于m的函數(shù)解析式，并求自變量m的取值范圍；
（2）當(dāng)函數(shù)值S=7時(shí)，求x₁³+8x₂的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由根與系數(shù)的關(guān)系可得出x₁+x₂、x₁x₂的值，再將S的表達(dá)式配成完全平方式，再將x₁+x₂、x₁x₂的值整體代入，即可得出S、m的函數(shù)關(guān)系式；m的取值范圍可由根的判別式得出；
（2）首先可求出S=7時(shí)，m的值；然后將所求代數(shù)式進(jìn)行拆分，再將此時(shí)x₁+x₂，x₁x₂的值代入求解．
解答：解：（1）由題意，得：x₁+x₂=3，x₁x₂=m；
∴S=x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=9-2m；
由于原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故△=9-4m＞0，即m＜；
即S=9-2m（m＜）；
（2）當(dāng)S=7時(shí)，9-2m=7，即m=1；
此時(shí)x₁+x₂=3，x₁x₂=1；
∴x₁³+8x₂=x₁³+（x₁²+x₂²+x₁x₂）x₂
=x₁³+x₁²x₂+x₂³+x₁x₂²
=x₁³+x₂³+x₁+x₂
=（x₁+x₂）（x₁²-x₁x₂+x₂²）+x₁+x₂
=（x₁+x₂）（x₁²+x₂²-x₁x₂+1）
=3×（7-1+1）=21．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．