Question

如圖，直角△ABC中，∠B=45°，AB=AC，點D為BC中點，且AD=CD，直角∠MDN繞點D旋轉(zhuǎn)，DM、DN分別與邊AB、AC交于E、F兩點．下列結(jié)論：①△DEF是等腰直角三角形；②AE=CF；③△BDE≌△ADF；④BE+CF=EF；⑤S_{四邊形AEDF}=

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AD²，其中正確結(jié)論是（　�。�

A．①②④

B．①②③④

C．①②③⑤

D．①②③④⑤

Answer 1

分析：根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠CAD=∠B=45°，根據(jù)同角的余角相等求出∠ADF=∠BDE，然后利用“角邊角”證明△BDE和△ADF全等，判斷出③正確，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DE=DF、BE=AF，從而得到△DEF是等腰直角三角形，判斷出①正確；再求出AE=CF，判斷出②正確；根據(jù)BE+CF=AF+AE，利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊可得BE+CF＞EF，判斷出④錯誤；根據(jù)全等三角形的面積相等可得S_△ADF=S_△BDE，從而求出S_{四邊形AEDF}=S_△ABD=

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AD²，判斷出⑤正確．

解答：解：∵∠B=45°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵點D為BC中點，
∴AD=CD=BD，AD⊥BC，∠CAD=45°，
∴∠CAD=∠B，
∵∠MDN是直角，
∴∠ADF+∠ADE=90°，
∵∠BDE+∠ADE=∠ADB=90°，
∴∠ADF=∠BDE，
在△BDE和△ADF中，

∠CAD=∠B AD=BD ∠ADF=∠BDE

，
∴△BDE≌△ADF（ASA），故③正確；
∴DE=DF、BE=AF，
∴△DEF是等腰直角三角形，故①正確；
∵AE=AB-BE，CF=AC-AF，
∴AE=CF，故②正確；
∵BE+CF=AF+AE
∴BE+CF＞EF，故④錯誤；
∵△BDE≌△ADF，
∴S_△ADF=S_△BDE，
∴S_{四邊形AEDF}=S_△ABD=

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AD²，故⑤正確．
綜上所述，正確的結(jié)論有①②③⑤．
故選C．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)，熟記三角形全等的判定方法并求出△BDE和△ADF全等是解題的關(guān)鍵．