Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD，E是AB延長線上一點，F(xiàn)是DC延長線上一點，連接BF，EF，恰有BF=EF，將線段EF繞點F順時針旋轉(zhuǎn)90°得FG，過點B作EF的垂線，交EF于點M，交DA的延長線于點N，連接NG．

（1）求證：BE=2CF；
（2）試猜想四邊形BFGN是什么特殊的四邊形，并對你的猜想加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）證明：過F作FH⊥BE，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠ABC=∠BCD=90°，

∴∠FHB=∠HBC=∠BCF=90°，

∴四邊形BCFH為矩形，

∴BH=CF，

又∵BF=EF，

∴BE=2BH，

∴BE=2CF；

（2）解：四邊形BFGN為菱形，證明如下：

∵MN⊥EF，

∴∠E+∠EBM=90°，且∠EBM=∠ABN，

∴∠ABN+∠E=90°，

∵BF=EF，

∴∠E=∠EBF，

∴∠ABN+∠EBF=90°，

又∵∠EBC=90°，

∴∠CBF+∠EBF=90°，

∴∠ABN=∠CBF，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=BC，∠NAB=∠CBF=90°，

在△ABN和△CBF中

∴△ABN≌△CBF（ASA），

∴BF=BN，

又由旋轉(zhuǎn)可得EF=FG=BF，

∴BN=FG，

∵∠GFM=∠BME=90°，

∴BN∥FG，

∴四邊形BFGN為菱形．

【解析】（1）過F作FH⊥BE，垂足為H，首先證明四邊形BCFH為矩形，依據(jù)矩形的性質(zhì)可得到BH=CF，然后由H為BE中點，可得BE=2CF；
（2）首先證明△ANB≌△CFB，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到BN=BF，然后再證明BN=GF，且BN∥FG，可最后，依據(jù)菱形的判定定理進行證明即可.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用菱形的判定方法和正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．