Question

（10分）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，AB=2，∠BAC=300．在圖中作弦AD，使AD=1，并求∠CAD的度數．

 

 

Answer 1

30°或90°．

【解析】

試題分析：分兩種情況考慮：D在直徑AB的上方或下方，根據題意畫出相應的圖形，根據直徑所對的圓周角為直角可得∠ADB為90°，即三角形ABD為直角三角形，又AD及AB的值得到AD等于AB的一半，根據直角三角形中一直角邊等于斜邊的一半，這條直角邊所對的角為30°，可得∠ABD=30°，根據直角三角形的兩銳角互余可得∠DAB等于60°，由∠BAC=30°，利用∠CAD=∠BAD﹣∠BAC或∠CAD=∠BAD+∠BAC即可求出兩種情況下所求角的度數．

試題解析：當D在直徑AB的上方時，如圖所示：

∵AB為圓O的直徑，∴∠ADB=90°，即△ABD為直角三角形，

又AD=1，AB=2，即AD=AB，∴∠ABD=30°，∴∠DAB=60°，又∠BAC=30°，

∴∠CAD=∠BAD﹣∠BAC=60°﹣30°=30°；

當D在直徑AB的下方時，如圖所示：

∵AB為圓O的直徑，∴∠ADB=90°，即△ABD為直角三角形，

又AD=1，AB=2，即AD=AB，

∴∠ABD=30°，∴∠DAB=60°，又∠BAC=30°，∴∠CAD=∠BAD+∠BAC=60°+30°=90°，

綜上，∠CAD=30°或90°．

故答案為：30°或90．

考點：1．圓周角定理；2．含30度角的直角三角形．