Question

如圖（1），直線y=x與雙曲線交于點(diǎn)A、C，且OA=OC=．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)和k的值；
（2）以AC為對(duì)角線作矩形ABCD交x軸正半軸于B，交x軸負(fù)半軸于D，求點(diǎn)B、D坐標(biāo)；
（3）如圖（2），在（2）的條件下，點(diǎn)B₁、D₁分別在x軸正、負(fù)半軸上移動(dòng)，AD₁交y軸于E，若∠B₁AD₁=∠BAD，則四邊形AB₁，OE的面積S是否會(huì)發(fā)生變化？若不變求S值，若變化求S的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)A在直線y=x上，設(shè)A（a，a），a＞0．作AM⊥x軸于M，
∴OM=AM=a，在Rt△AOM中，由勾股定理，得
OM²+AM²=OA²，
∴a²+a²=（）²，且a＞0，
∴a=1，
∴A（1，1），同理得C（-1，-1）．
∵點(diǎn)A在雙曲線上，
∴k=1．

（2）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO=DO，
∴BO=OD=．
∵點(diǎn)B在x軸的正半軸，點(diǎn)D在x軸的負(fù)半軸，
∴B（，0），D（-，0）

（3）S值不變，為1．
作AM⊥x軸于M，AN⊥y軸于N，
∴AM=AN=1，在矩形ABCD中∠BAD=90°，
∴∠B₁AD₁=∠BAD=90°，
∵AM⊥x軸于M，AN⊥y軸于N，OM⊥ON，
∴∠MAN=90°，
∴∠B₁AM=∠EAN，
∵AM=AN，∠AMB₁=∠ANE=90°，
∴△B₁AM≌△EAN，
∴S_△B1AM=S_△EAN，
∴S_△B1AM+S_{四邊形AEOM}=S_△EAN+S_{四邊形AEOM}，
∴S_{四邊形ANOM}=S_{四邊形AEOB1}=AM•AN=1．
分析：（1）由點(diǎn)A在直線y=x上，設(shè)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，作AM⊥x軸于M，由勾股定理就可以求出AM的值，可以求出A的坐標(biāo)，然后代入雙曲線的解析式就可以求出k的值．
（2）由四邊形ABCD是矩形可以得出OD=OB=OA，再根據(jù)D、B的位置矩形的性質(zhì)就可以求出B、D的坐標(biāo)．
（3）由條件∠B₁AD₁=∠BAD通過作輔助線AM⊥x軸于M，AN⊥y軸于N，可以證明三角形全等可以得出四邊形AB₁，OE的面積S是定值為正方形ANOM的面積．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道反比例函數(shù)的綜合試題，考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，勾股定理的運(yùn)用，三角形全等的判定與性質(zhì)．