Question

一只袋子里裝有紅球和綠球，第一次從中摸出是紅球和綠球的概率均為

1

2

，如果上一次摸出是紅球，則下一次摸出是紅球的概率為

1

3

，綠球的概率為

2

3

；如果上一次摸出的是綠球，則下一次摸出的是紅球的概率為

2

5

，綠球的概率為

3

5

，記P_n表示第n次摸出的是紅球的概率，
（1）P₁=

1

2

；P₂=

11

30

；
（2）試寫出P_n與P_n-1之間的關(guān)系式；

1

3

P_n-1+

2

5

（1-P_n-1）

．

Answer 1

分析：（1）由一只袋子里裝有紅球和綠球，第一次從中摸出是紅球和綠球的概率均為

1

2

，即可求得P₁的值，又由如果上一次摸出是紅球，則下一次摸出是紅球的概率為

1

3

，綠球的概率為

2

3

；如果上一次摸出的是綠球，則下一次摸出的是紅球的概率為

2

5

，綠球的概率為

3

5

，即可得P₂=

1

3

P₁+

2

5

（1-P₁），繼而求得P₂的值；
（2）根據(jù)題意可得規(guī)律為：P_n=

1

3

P_n-1+

2

5

（1-P_n-1）．

解答：解：（1）∵第一次從中摸出是紅球和綠球的概率均為

1

2

，
∴P₁=

1

2

；------（1分）
∵若第一次摸出是紅球，則此時摸出是紅球的概率為

1

3

，這種情況下的概率為：

1

3

×P₁=

1

3

×

1

2

，
若第一次摸出是綠球，則此時摸出是紅球的概率為

2

5

，這種情況下的概率為：

2

5

×（1-P₁），
∴P₂=

1

3

P₁+

2

5

（1-P₁）=

1

3

×

1

2

+

2

5

×

1

2

=

11

30

；----（3分）

（2）根據(jù)題意得：P_n=

1

3

P_n-1+

2

5

（1-P_n-1）．--------（7分）
故答案為：（1）

1

2

，

11

30

；（2）

1

3

P_n-1+

2

5

（1-P_n-1）．

點評：此題考查了概率公式的應(yīng)用．此題屬于規(guī)律性題目，難度比較大，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到規(guī)律：P_n=

1

3

P_n-1+

2

5

（1-P_n-1）．