Question

（2010•石家莊模擬）某小區(qū)的居民籌集資金1600元，計劃在一塊上、下底分別為10米和20米的梯形空地上種植花木，如圖1所示．
（1）他們在△AMD和△BMC地帶上種植太陽花，單價為8元/平方米，當△AMD地帶種滿花后，共花160元，請計算種滿△BMC地帶所需的費用．
（2）若其余地帶有玫瑰和茉莉花兩種花木可供選擇，單價分別為12元/平方米和10元/平方米，選擇種哪種花木，可以剛好用完所籌集的資金？
（3）若梯形ABCD為等腰梯形，面積不變，如圖2所示，請你設計一種花壇圖案，即在梯形內(nèi)找一點P，使得△APB≌△DPC，且S_△APD=S_△BPC，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)費用可以求出△AMD的面積，根據(jù)梯形的兩底邊互相平行可得△AMD和△BMC相似，然后利用相似三角形面積的比等于相似比的平方求出△BMC的面積，然后即可求出種滿△BMC地帶所需的費用；
（2）先求出△AMD和△BMC的高，然后即可得到梯形ABCD的高，從而可以求出△ABM與△CDM的面積的和，根據(jù)費用求出可種花木的單價，即可進行選擇；
（3）根據(jù)等腰梯形的軸對稱性可知，點P應在AD、BC的中垂線上，設△APD的高為x，然后根據(jù)面積S_△APD=S_△BPC，列式進行計算求出x的值即可得解．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，
∴△AMD∽△BMC，
∴

S△AMD

S△BMC

=(

AD

BC

)2=

1

4

，
∵S_△AMD=

160

8

=20m²，
∴S_△BMC=20×4=80m²，
∴種滿△BMC地帶所需的費用為：80×8=640元；

（2）設△AMD的高為h₁，△BMC的高為h₂，梯形ABCD的高為h，
則

1

2

×10•h₁=20，

1

2

×20•h₂=80，
解得h₁=4，h₂=8，
∴h=4+8=12，
S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）×h=

1

2

（10+20）×12=180，
∴S_△AMB+S_△CMD=180-20-80=80，
所種花木的單價是：（1600-160-640）÷80=800÷80=10元，
∴選擇種茉莉花，可以剛好用完所籌集的資金；

（3）如圖，點P應在AD、BC的中垂線上，設△APD的高為x，則△BPC的高為（12-x），
∴S_△APD=

1

2

×10x=5x，
S_△BPC=

1

2

×20（12-x）=120-10x，
∵S_△APD=S_△BPC，
∴5x=120-10x，
解得x=8，
∴點P在AD、BC的中垂線上，且到AD的距離等于8米時，S_△APD=S_△BPC．

點評：本題考查了相似三角形的應用，等腰梯形的性質，以及三角形的面積，是綜合題，難度不大，熟練掌握相似三角形的性質與等腰梯形的對稱性是解題的關鍵．