Question

如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=30°．
（1）求∠BAE和∠DAE的度數(shù)；
（2）若∠C-∠B=α（∠C＞∠B），求∠DAE的度數(shù)．（用含α的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出∠BAE的度數(shù)即可；根據(jù)AD⊥BC及三角形內(nèi)角和定理可求出∠BAD的度數(shù)，再由（1）中求出的∠BAE的度數(shù)即可求出∠DAE的度數(shù)；
（2）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及角平分線的性質(zhì)用∠B、∠C表示出∠BAE的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)用∠B表示出∠BAD的度數(shù)，當(dāng)∠C＞∠B時，∠DAE=∠BAD-∠BAE，化簡即可求出∠DAE的度數(shù)．

解答：解：（1）如圖，∵在△ABC中，∠B=70°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-30°=80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=

1

2

∠BAC=

1

2

×80°=40°；
∵AD⊥BC，∠B=70°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-70°=20°，
∵∠BAE=40°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-20°=20°；

（2）如圖，∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=

1

2

（180°-∠B-∠C），
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=90°-∠B，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=（90°-∠B）-

1

2

（180°-∠B-∠C）=

1

2

（∠C-∠B）=

1

2

α．

點評：本題涉及到三角形內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，涉及面較廣，難度適中．