Question

已知BE、CF是銳角△ABC的兩條高，求證∠ABE的平分線、∠ACF的平分線與線段EF的垂直平分線相交于一點(diǎn)．

Answer 1

分析：設(shè)∠ABE的平分線與∠ACF的平分線相交于點(diǎn)N，連接NE、NF．由BE⊥AC，CF⊥AB，根據(jù)同角的余角相等得到∠ABE=∠ACF，再由角平分線定義得到∠FBN=∠FCN．由此判斷B、C、N、F四點(diǎn)共圓，即得到B、C、E、N、F五點(diǎn)共圓．而∠FBN=∠NBE，得到NF=NE，所以N在EF的垂直平分線上．

解答：解：如圖．設(shè)∠ABE的平分線與∠ACF的平分線相交于點(diǎn)N，連接NE、NF．
∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠ABE=∠ACF，
而BN，CN分別為∠ABE和∠ACF的平分線，
∴∠FBN=∠FCN．
∴B、C、N、F四點(diǎn)共圓．
∴B、C、E、N、F五點(diǎn)共圓．
∵∠FBN=∠NBE，
∴NF=NE．
∴N在EF的垂直平分線上．
即∠ABE的平分線、∠ACF的平分線與線段EF的垂直平分線相交于一點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四點(diǎn)共圓的判定與性質(zhì)．也考查了圓周角定理以及角平分線的性質(zhì)．