【題目】已知:在O中,AB是直徑,AC是弦,OEAC于點E,過點C作直線FC,使FCA=AOE,交AB的延長線于點D.

(1)求證:FD是O的切線;

(2)設OC與BE相交于點G,若OG=2,求O半徑的長;

(3)在(2)的條件下,當OE=3時,求圖中陰影部分的面積.

【答案】1)證明見解析(2)6;(3

【解析】

試題分析:(1)要證FD是O的切線只要證明OCF=90°即可;

(2)根據(jù)已知證得OEG∽△CBG根據(jù)相似比不難求得OC的長;

(3)根據(jù)S陰影=SOCD﹣S扇形OBC從而求得陰影的面積.

證明:(1)連接OC(如圖①),

OA=OC

∴∠1=A

OEAC,

∴∠A+AOE=90°

∴∠1+AOE=90°

∵∠FCA=AOE

∴∠1+FCA=90°

OCF=90°

FDO的切線.

(2)連接BC,(如圖②)

OEAC,

AE=EC(垂徑定理).

AO=OB,

OEBC

∴∠OEG=GBC(兩直線平行,內(nèi)錯角相等),

EOG=GCB(兩直線平行,內(nèi)錯角相等),

∴△OEG∽△CBG(AA).

OG=2,

CG=4

OC=OG+GC=2+4=6

O半徑是6.

(3)OE=3,由(2)知BC=2OE=6,

OB=OC=6

∴△OBC是等邊三角形.

∴∠COB=60°

在RtOCD中,CD=OC×tan60°=6,

S陰影=SOCD﹣S扇形OBC==

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