Question

如圖，點A在雙曲線y=上，點C在x軸正半軸上，過點A，C分別作x軸，y軸的平行線，交點為B，D為BC的中點，連接AD，OD．若OC=BC，∠OAD=∠AOC，S_△AOD=，則k的值為________．

Answer 1

1
分析：設(shè)B點坐標(biāo)為（a，a），A點坐標(biāo)為（m，a），則C點坐標(biāo)為（a，0），D點坐標(biāo)為（a，a），作DE∥OC，根據(jù)平行線性質(zhì)得∠AED=∠AOC，而∠AOC=∠OAD，則∠AED=∠EAD，得到DA=DE，由DE為梯形ABCO的中位線，DE=（AB+OC）=（a-m+a）=a-m，在Rt△ABD中利用勾股定理得到（a-m）²+a²=（a-m）²，可解得a₁=3m，a₂=m（舍去），然后利用S_△AOD=S_梯形ABCO-S_△ABD-S_△ODC=建立關(guān)于m的方程，解方程得到滿足條件的m的值，確定A點坐標(biāo)，再把A點坐標(biāo)代入反比例解析式可求出k的值．
解答：設(shè)B點坐標(biāo)為（a，a），A點坐標(biāo)為（m，a），則C點坐標(biāo)為（a，0），D點坐標(biāo)為（a，a），
作DE∥OC，如圖，則∠AED=∠AOC，
∵∠AOC=∠OAD，
∴∠AED=∠EAD，
∴DA=DE，
∵D點為BC的中點，
∴DE為梯形ABCO的中位線，
∴DE=（AB+OC）=（a-m+a）=a-m，
∴DA=a-m，
在Rt△ABD中，AB²+BD²=AD²，即（a-m）²+a²=（a-m）²，
整理得a²-4ma+3m²=0，解得a₁=3m，a₂=m（舍去），
∵S_△AOD=S_梯形ABCO-S_△ABD-S_△ODC，
∴（2m+3m）•3m-•2m•m-•3m•m=，
解得m₁=，m₂=-（舍去），
∴A點坐標(biāo)為（，），
把A（，）代入y=中得k=×=1．
故答案為：1．
點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：反比例函數(shù)y=圖象上的點滿足其解析式；當(dāng)k＞0，反比例函數(shù)圖象分布在第一、三象限，在每一象限y隨x的增大而減��；利用梯形中位線的性質(zhì)可得到線段之間的相等關(guān)系，運(yùn)用勾股定理可進(jìn)行幾何計算．