Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AD=2

3

，AC=3．
（1）求∠B；
（2）求S_△ABC．

Answer 1

分析：（1）在直角三角形ABC中，由AD與AC的長，利用勾股定理求出CD的長，可得出CD為斜邊AD的一半，利用直角三角形中一直角邊等于斜邊的一半，此直角邊所對的角為30°，可得出∠CAD=30°，再由AD為角平分線得到一對角相等，都為30°，可得出∠CAB的度數(shù)，利用直角三角形的兩銳角互余可得出∠B的度數(shù)；
（2）由（1）得出∠BCD=∠B，利用等角對等邊得到AD=BD，由AD的長求出BD的長，再由CD+BD求出CB的長，直角三角形ABC的面積等于兩直角邊乘積的一半，求出即可．

解答：解：（1）在Rt△ACD中，∠C=90°，AD=2

3

，AC=3，
根據(jù)勾股定理得：CD=

AD2-AC2

=

3

，
∴CD=

1

2

AD，
∴∠CAD=30°，
又AD為∠BAC的平分線，
∴∠CAD=∠BAD=30°，即∠CAB=2∠CAD=60°，
則∠B=90°-60°=30°；
（2）∵∠BAD=∠B=30°，
∴AD=BD=2

3

，又CD=

3

，
∴CB=CD+BD=3

3

，
則S_△ABC=

1

2

AC•CB=

1

2

×3×3

3

=

9 3

2

．

點評：此題屬于解直角三角形的題型，涉及的知識有：勾股定理，角平分線定義，直角三角形的性質，以及三角形面積的求法，找出已知與未知的關系是解三角形的關鍵．