Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC與⊙O相切于點B，連接OC，交⊙O于點E，弦AD∥OC．
（1）求證：點E是弧BD的中點；（2）求證：CD是⊙O的切線．

Answer 1

證明：（1）連接OD．
∵AD∥OC，
∴∠ADO=∠COD，∠A=∠COB．
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∴∠COD=∠COB．
∴弧BE=弧DE，即點E是弧BD的中點．

（2）由（1）可知∠COD=∠COB，
在△COD和△COB中，，
∴△COD≌△COB，
∴∠CDO=∠CBO．
∵BC與⊙O相切于點B，
∴BC⊥OB，即∠CBO=90°．
∴∠CDO=90°，即DC⊥OD．
∴CD是⊙O的切線．
分析：（1）連接OD．根據(jù)相等的圓心角所對的弧相等，證明∠COD=∠COB后得證；
（2）證明OD⊥CD即可．通過證明△COD≌△COB得∠ODC=∠OBC=90°得證．
點評：此題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)及切線的判定方法等知識點．
①相等的圓心角所對的弧相等，必須在同圓或等圓中成立；
②要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．