Question

邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC的中心O，以O(shè)為圓心，在正三角形內(nèi)畫一個(gè)圓，（⊙O），再作⊙O₁，⊙O₂，⊙O₃，分別與正三角形的兩邊及⊙O都相切，試求，這四個(gè)面積總和的最大值與最小值，并指出面積總和取最值時(shí)對(duì)應(yīng)的⊙O的半徑．

Answer 1

解：設(shè)圓O的半徑為x，已知圓O₁，圓O₂，圓O₃的半徑相等，設(shè)其為z，由AO₁=2z，AO=，
得：3z+x=，
∴z=-，
設(shè)四個(gè)圓面積之和為y，則y=πx²+3π=+，
不難得到x的取值范圍為≤x≤，
∴x=時(shí)，y_min=，x=時(shí)，y_max=，
故當(dāng)圓O的半徑為時(shí)，四圓面積和取最小值；
當(dāng)圓O的半徑為時(shí)，四圓面積和取最大值．
分析：設(shè)圓O的半徑為x，已知圓O₁，圓O₂，圓O₃的半徑相等，設(shè)其為z，由AO₁=2z，AO=，得：3z+x=，∴z=-，表示出四圓面積之和即可求出答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相切兩圓的性質(zhì)，難度較大，關(guān)鍵是先求出x的取值范圍，再確定y的最值．