Question

如圖1所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過(guò)A的一條直線，且B、C在AE的異側(cè)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．求證：
（1）BD=DE+CE．
（2）若直線AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖2位置時(shí)（BD＜CE），其他條件不變，判斷BD與DE，CE的關(guān)系并說(shuō)明理由．
（3）若直線AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖3位置時(shí)（BD＞CE），其他條件不變，則BD與DE，CE的關(guān)系又怎樣？請(qǐng)寫(xiě)出結(jié)果，不必證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件易證得∠BAD=∠ACE，且根據(jù)全等三角形的判定可證明△ABD≌△CAE，根據(jù)各線段的關(guān)系即可得結(jié)論．
（2）BD=DE+CE．根據(jù)全等三角形的判定可證明△ABD≌△CAE，根據(jù)各線段的關(guān)系即可得結(jié)論．
（3）同上理，BD=DE+CE仍成立．

解答：解：證明如下：
（1）∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵CE⊥AE，∴∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠ACE=∠BAD；
又∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB=∠CEA=90°，
在△ABD和△CAE中，

∠ACE=∠BAD ∠ADB=∠CEA AB=AC

，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE；
∵AE=DE+AD，
∴BD=DE+CE；

（2）DE=BD+CE．
∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵CE⊥AE，∴∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠ACE=∠BAD；
又∵BD⊥AE，CE⊥AE
∴∠ADB=∠CEA=90°，
在△ABD和△CAE中，

∠ACE=∠BAD ∠ADB=∠CEA AB=AC

，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE；
∵DE=AE+AD，
∴DE=BD+CE；

（3）結(jié)論是：當(dāng)B、C在AE兩側(cè)時(shí)，BD=DE+CE；當(dāng)B、C在AE同側(cè)時(shí)，BD=DE-CEDE=BD+CE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，涉及到直角三角形的性質(zhì)、余角和補(bǔ)角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．