Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=4厘米，BC=8厘米，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底邊QR=12厘米，點B、C、Q、R在同一直線l上，且C、Q兩點重合．如果等腰△PQR以2厘米/秒的速度沿直線l按箭頭所示方向勻速運動，t秒時梯形ABCD與等腰△PQR重合部分的面積記為S平方厘米．
（1）當t=2時，求S的值；
（2）當6≤t≤10時，求S與t的函數關系式，并求出S的最大值．

Answer 1

解：（1）由題意得：當t=2時，Q點遠動到BC中點處，如圖所示，此時三角形與梯形的重合部分為△MQC，其中點M為PQ與CD的交點，
易知QC=4，∠PQC=30°，∠QCM=60°，∴∠QMC=90°，
在Rt△QMC中，有MC=2，QM=2，
可以S_△MQC=QM•MC=×2×2=2（cm ²）；

（2）當t=6時，點R運動到點C處，點P運動到點A處，因此當6≤t≤10時，點P在點A及其左側，
如圖所示，點F為AB與PR的交點，
△PQR與梯形ABCD的重合部分為△MQC，
由于∠FBR=60°，∠FRB=30°，
∴△FBR為Rt△，
∵RC=2t-12，
∴BR=BC-RC=8-（2t-12）=20-2t=2（10-t），
∴FB=BR=10-t，
FR=（10-t），
故S_△FBR=FB•FR=（t-10）²，
即S與t的函數關系式為：S=（t-10）²，（6≤t≤10），
當t=6時，S取到最大值且最大值為：S=8（cm ²）．
分析：（1）根據當t=2時，Q點遠動到BC中點處，首先得出∠QMC=90°，進而求出S_△MQC=QM•MC得出答案即可；
（2）根據當t=6時，點R運動到點C處，點P運動到點A處，即可得出△FBR為Rt△，進而求出RC=2t-12，F(xiàn)B=BR=10-t，F(xiàn)R=（10-t），即可求出S_△FBR=FB•FR=（t-10）²，
再利用函數最值求出即可．
點評：此題主要考查了等腰梯形的性質以及等腰三角形的性質一級函數最值求法等知識，根據已知得出，∠QMC=90°和△FBR為Rt△是解題關鍵．