Question

如圖所示，拋物線與x軸交于A、B兩點，直線BD的函數表達式為，拋物線的對稱軸l與直線BD交于點C、與x軸交于點E．

⑴求A、B、C三個點的坐標．

⑵點P為線段AB上的一個動點（與點A、點B不重合），以點A為圓心、以AP為半徑的圓弧與線段AC交于點M，以點B為圓心、以BP為半徑的圓弧與線段BC交于點N，分別連接AN、BM、MN．

①求證：AN=BM．

②在點P運動的過程中，四邊形AMNB的面積有最大值還是有最小值？并求出該最大值或最小值.

x

Answer 1

解：⑴令，

解得：，              

∴A(－1，0)，B(3，0)···························· 2分

∵=，

∴拋物線的對稱軸為直線x=1，

將x=1代入，得y=2，

∴C（1，2）.  ································· 3分

⑵①在Rt△ACE中，tan∠CAE=，

∴∠CAE=60º，

由拋物線的對稱性可知l是線段AB的垂直平分線，

∴AC=BC，

∴△ABC為等邊三角形， 

∴AB= BC =AC = 4，∠ABC=∠ACB= 60º，

又∵AM=AP，BN=BP，

∴BN = CM，       

∴△ABN≌△BCM，                

∴AN=BM.    

②四邊形AMNB的面積有最小值．   

設AP=m，四邊形AMNB的面積為S，

由①可知AB= BC= 4，BN = CM=BP，S_△ABC=×4²=，

∴CM=BN= BP=4－m，CN=m，             

過M作MF⊥BC,垂足為F,

則MF=MC•sin60º=，

∴S_△CMN==•=，······················· 7分

∴S=S_△ABC－S_△CMN

=－（）

=   

∴m=2時，S取得最小值3.