Question

已知x、y為正整數，且滿足xy-（ x+y ）=2p+q，其中p、q分別是x與y的最大公約數和最小公倍數，求所有這樣的數對（x，y ）  （x≥y ）．

Answer 1

分析：此題需分類討論，①當x是y的倍數時，設x=ky（k是正整數）．解方程k（y-2）=3；②當x不是y的倍數時，令x=ap，y=bp，a，b互質，則q=abp．解方程abp-1=（a-1）（b-1）即可．

解答：解：①當x是y的倍數時，設x=ky（k是正整數）．
則由原方程，得
ky•y-（ky+y）=2y+ky，
∵y≠0，
∴ky-（k+1）=2+k，
∴k（y-2）=3，
當k=1時，x=5，y=5；
當k=3時，x=9，y=3；
∴

x=9 y=3

，

x=5 y=5

；

②當x不是y的倍數時，令x=ap，y=bp，a，b互質，則q=abp，代入原式
得：abp²-（ap+bp）=2p+abp，即abp-1=（a+1）（b+1）
當p=1時，a+b=2，可求得a=1，b=1，此時不滿足條件；
當p＞1時，abp≥2ab-1=ab+（ab-1）≥ab＞（a-1）（b-1）
此時，abp-1=（a-1）（b+1）不滿足條件；
綜上所述，滿足條件的數對有：

x=9 y=3

，

x=5 y=5

．

點評：本題主要考查的是最大公約數與最小公倍數．由于兩個數的乘積等于這兩個數的最大公約數與最小公倍數的積．即（a，b）×[a，b]=a×b．所以，求兩個數的最小公倍數，就可以先求出它們的最大公約數，然后用上述公式求出它們的最小公倍數．