Question

如圖，點(diǎn)B，E，N都在反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象上，過點(diǎn)B、E分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為A，C和D，F(xiàn)；作NM⊥x軸于M，NP⊥ED于P．若四邊形OABC的面積為4，四邊形ODEF和四邊形DMNP都為正方形．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）首先設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，b），根據(jù)反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)可得ab=k，再根據(jù)矩形OABC的面積為4可得ab=4，進(jìn)而得到k的值，從而得到反比例函數(shù)解析式；
（2）四邊形ODEF為正方形，可得EF=ED，因?yàn)辄c(diǎn)E在反比例函數(shù)y=

4

x

的圖象上，故E（2，2），則D（2，0）；設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，n），（m＞0，n＞0）．因?yàn)辄c(diǎn)N在反比例函數(shù)y=

4

x

的圖象上，因此mn=4，根據(jù)四邊形DMNP為正方形，可得n=MN=DM=m-2，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)與反比例函數(shù)k的關(guān)系可得m（m-2）=4，可以解出m的值，進(jìn)而得到n的值，即可得到點(diǎn)N的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，b），
∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=

k

x

(k＞0)的圖象上，
∴b=

k

a

，
∴k=ab，
∵矩形OABC的面積為4，
∴ab=AB•BC=4． 
∴反比例函數(shù)的解析式是y=

4

x

；

（2）∵點(diǎn)E在反比例函數(shù)y=

4

x

的圖象上，且四邊形ODEF為正方形，
∴OD=DE=2，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0），
設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，n），（m＞0，n＞0）．
∵點(diǎn)N在反比例函數(shù)y=

4

x

的圖象上，
∴mn=4，
∴四邊形DMNP為正方形，n=MN=DM=m-2，
∴m（m-2）=4，
即m²-2m-4=0，
解這個方程，得m1=1+

5

，m2=1-

5

（負(fù)根舍去），
∴n=1+

5

-2=

5

-1，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（

5

+1，

5

-1)．

點(diǎn)評：此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用，關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)與反比例函數(shù)中k的關(guān)系．